对于 c=2^N +-1 快速计算 (a*b) mod c答案

【问题标题】：Computing (a*b) mod c quickly for c=2^N +-1对于 c=2^N +-1 快速计算 (a*b) mod c
【发布时间】：2009-04-18 08:29:45
【问题描述】：

在 32 位整数数学中，加法和乘法的基本数学运算是隐式计算的，模 2^32，这意味着您的结果将是加法或乘法的最低位。

如果您想用不同的模数计算结果，您当然可以使用不同语言的任意数量的 BigInt 类。对于 a,b,c

但有人告诉我，当 C 的形式为 (2^N)-1 或 (2^N)+1 时，有一些特殊技巧可以有效地计算 a*b mod C，而不使用 64位数学或 BigInt 库，并且非常有效，比任意模计算更有效，并且还可以正确计算如果包含中间乘法，通常会溢出 32 位 int 的情况。

很遗憾，尽管听说这种特殊情况有快速评估方法，但我实际上并没有找到该方法的描述。 “那不是在 Knuth 吗？” “这不是维基百科的某个地方吗？”是我听到的喃喃自语。

这显然是随机数生成器中的一种常见技术，它正在执行 a*b mod 2147483647 的乘法，因为 2147483647 是一个等于 2^31 -1 的素数。

所以我会问专家。我找不到任何讨论的这种巧妙的特殊情况乘法与 mod 方法是什么？

【问题讨论】：

标签： math integer modulo prng knuth

【解决方案1】：

我认为诀窍如下（我打算以10为底，因为它更容易，但原则应该成立）

假设您将a*b mod 10000-1 相乘，并且

a = 1234 = 12 * 100 + 34
b = 5432 = 54 * 100 + 32

现在a*b = 12 * 54 * 10000 + 34 * 54 * 100 + 12 * 32 * 100 + 34 * 32

12 * 54 * 10000 =  648 * 10000
34 * 54 * 100   = 1836 * 100
12 * 32 * 100   =  384 * 100
34 * 32         = 1088

由于x * 10000 ≡ x (mod 10000-1)[1]，第一个和最后一个词变成了648+1088。第二个和第三个术语是“技巧”的来源。请注意：

1836 = 18 * 100 + 36
1836 * 100 ≡ 18 * 10000 + 3600 ≡ 3618 (mod 10000-1).

这本质上是一个循环移位。给出 648 + 3618 + 8403 + 1088 的结果。还要注意，在所有情况下，相乘的数字都

在二进制中，它的工作原理类似。

以a和b开头，都是32位。假设您想将它们相乘 mod 2^31 - 1，但您只有一个 16 位乘法器（给出 32 位）。算法是这样的：

 a = 0x12345678
 b = 0xfedbca98
 accumulator = 0
 for (x = 0; x < 32; x += 16)
     for (y = 0; y < 32; y += 16)
         // do the multiplication, 16-bit * 16-bit = 32-bit
         temp = ((a >> x) & 0xFFFF) * ((b >> y) & 0xFFFF)

         // add the bits to the accumulator, shifting over the right amount
         total_bits_shifted = x + y
         for (bits = 0; bits < total_bits_shifted + 32; bits += 31)
             accumulator += (temp >> (bits - total_bits_shifted)) & 0x7FFFFFFF

         // do modulus if it overflows
         if (accumulator > 0x7FFFFFFFF)
             accumulator = (accumulator >> 31) + (accumulator & 0x7FFFFFFF);

已经很晚了，所以其中的累加器部分可能无法工作。我认为原则上它是正确的。有人可以随意编辑它以使其正确。

展开，这也相当快，我猜这也是 PRNG 使用的。

[1]: x*10000 ≡ x*(9999+1) ≡ 9999*x + x ≡ x (mod 9999)

【讨论】：

仍然不明白这背后的数学是我放弃大学数学的原因......
嗯，这有点像除以 9 (10-1) 时得到余数。您只需将数字相加即可。现在在这种情况下，您不是以 10 为底或以 2 为底，而是“底”2^N

【解决方案2】：

假设您可以将 a*b 计算为 p*2^N+q。这可能需要 64 位计算，或者您可以将 a 和 b 拆分为 16 位部分并在 32 位上进行计算。

然后是a*b mod 2^N-1 = p+q mod 2^N-1，因为2^N mod 2^N-1 = 1。

还有a*b mod 2^N+1 = -p+q mod 2^N+1，因为2^N mod 2^N+1 = -1。

在这两种情况下，2^N-1 或 2^N+1 都没有划分。

【讨论】：

【解决方案3】：

快速搜索一下：http://home.pipeline.com/~hbaker1/AB-mod-N.pdf。不幸的是，我已经太晚了，我无法理解这一点，只写简化公式，但它可能在那篇论文中的某个地方。

【讨论】：

论文使用浮点运算而不是N的性质使计算有效。我自己对浮点计算有点紧张，但还没有更深入地检查它……它可能工作得很好。
趣味论文，值得一读！对于任意模值，这是一种更通用的方法。不幸的是，作为计算的一部分，它会将值转换为 64 位双精度值。一般来说，这可能是一种非常有效的计算，但对于特殊的 c=2^N +-1 情况，还有一些更快的方法。无论如何 +1 投票只是因为它是一个很棒的链接！

【解决方案4】：

除了每一步都做模减，可以使用Montgomery reduction（还有其他descriptions）来降低模乘计算的成本。不过，这仍然没有使用 N 的属性是加/减 2 的幂。

【讨论】：

【解决方案5】：

您要查找的身份是 x mod N = (x mod 2^q)- c*floor(x/2^q)，因为 N = 2^q + c 和 c 是任意整数（但通常为 ±1）。

您可能需要阅读 Richard Crandall 和 Carl Pomerance 的“素数：计算视角”中的 第 9.2.3 节：“特殊形式的模”。除了理论，它还包含实现上述关系的算法的伪代码。

【讨论】：

你确定这是正确的吗？例如。 wolfram alpha raw modulus calculation example 与 your formula example 对于 2^16+1 和 68519263247*1564832
我找到了你提到的那本书，我想你忘记了最后一个重要部分：计算的第二部分应该添加mod N，例如：x mod N = (x mod 2^q)- c*floor(x/2^q) mod N (example) .由于这仍然包含mod N，我不确定使用这个公式的好处是什么（？）
你可以递归地继续应用公式，直到c*floor(x/2^q) < N

【解决方案6】：

我找到了一个关于这个主题的rather extensive page，不仅讨论了算法，还讨论了问题和解决方案的具体历史以及人们使用解决方案的方式。

【讨论】：