计算 n 其中 a^n mod m = 1？答案

【问题标题】：Calculate n where a^n mod m = 1?计算 n 其中 a^n mod m = 1？
【发布时间】：2013-10-22 18:53:01
【问题描述】：

计算满足方程的第一个 n 的最快方法是什么

a^n mod m = 1

这里 a,n,m 可以是素数或合数 mod : 是模运算符

【问题讨论】：

这个网站是用于编程问题，而不是数学作业。
我需要使用代码来计算。我试图蛮力，但它在给定的时间限制内不起作用
如果这是关于 CPU 时间的“最快”方法的问题，也许这个问题应该属于这里，但实际上，这似乎不太合适.
这是一个编程问题的一部分
是的，然后将“最佳”定义为性能最高或最快。

标签： c++ number-theory modular-arithmetic

【解决方案1】：

直接方式有什么问题：

int mod_order(int m, int a) {
    for(int n = 1, an = a; n != m; n++, an = an * a % m) if(an % m == 1) return n;
    return -1;
}

【讨论】：

我试过蛮力。 2
@user1640967 是不是运行太慢了？如果有，m 有多大，蛮力需要多长时间，您预计需要多长时间？
我想知道上述问题有没有更好的数学解决方案
这与离散对数问题有关，已知该问题在 NP 中，但高度怀疑不在 P 中。有些算法确实可以提高性能，但它们仍然很慢（而不是取 O(m)，他们取 O(sqrt(m))，这仍然很慢）

【解决方案2】：

如果 gcd(a,m)>1，则不存在这样的 n。（很明显）
否则，如果 m 是素数，则 n=m-1。 (Proof)
否则（作为更一般的情况），n=ф(m)，其中 ф 是欧拉的总函数。 (Proof)

如您所见，计算 ф(m) 本质上与 m 的因式分解相同。这可以在 sqrt(m) 时间或更短的时间内完成，具体取决于您使用的算法的复杂程度。简单的一个：

int phi(m){
  if(m==1) return 1;
  for(int d=2; d*d<m; ++d){
    if(m%d != 0) continue;
    int deg = 1; long acc=1;
    for(; m%(acc*d)==0; ++deg) acc*=d;
    acc /= d;
    return phi(m/acc)*acc*(d-1)/d;
  }
  return m-1;
}

更新：我的错。 a^(ф(m)) = 1 (mod m)，但可以有较小的 n 值（对于 a=1，n=1，m 是什么没有区别；对于 a=14，m=15，n= 2）。 n 是 ф(m) 的除数，但有效地计算最小可能的 n 似乎很棘手。可以使用this 定理划分任务（对于各个余数，最小 n 是所有度数的最小公倍数）。但是当 m 是素数或有足够大的素数除数时，并且只有一个 a（而不是为许多具有相同 m 的不同 a 计算 n），我们就别无选择了。你可能想看看1、2。

【讨论】：