为什么这两种采样素数的方法运行时间相同？

Question

所以我实现了自己的小型 RSA 算法，并在此过程中编写了一个函数来查找大素数。
首先，我编写了一个测试素数的函数prime?，然后我编写了两个版本的素数搜索函数。在第一个版本中，我只是测试随机 BigIntegers，直到我遇到一个素数。在第二个版本中，我对一个随机 BigInteger 进行采样，然后将其递增，直到找到一个素数。

(defn resampling []
  (let [rnd (Random.)]
    (->> (repeatedly #(BigInteger. 512 rnd))
         (take-while (comp not prime?))
         (count))))

(defn incrementing []
  (->> (BigInteger. 512 (Random.))
       (iterate inc)
       (take-while (comp not prime?))
       (count)))

(let [n 100]
  {:resampling   (/ (reduce + (repeatedly n resampling)) n)
   :incrementing (/ (reduce + (repeatedly n incrementing)) n)})

运行此代码会产生两个平均值：重采样函数为 332.41，递增函数为 310.74。
现在第一个数字对我来说完全有意义。 prime number theorem 表示n'th 素数的大小约为n*ln(n)（其中ln 是自然对数）。所以相邻素数之间的距离约为n*ln(n) - (n-1)*ln(n-1) ≈ (n - (n - 1))*ln(n) = ln(n)（对于n 的大值ln(n) ≈ ln(n - 1)）。由于我正在采样 512 位整数，因此我希望素数之间的距离在 ln(2^512) = 354.89 附近。因此，随机抽样在达到素数之前平均需要大约 354.89 次尝试，结果非常好。
我的困惑是为什么递增函数要采取同样多的步骤。如果我想象在素数相距 355 个单位的网格上投掷飞镖，则平均只需大约一半的步数即可走到下一个更高的素数，因为平均而言，我会在两个素数之间击中中心。

（prime?的代码有点长，大家可以看一下here。）

Answer 1

您假设素数是均匀分布的，但事实并非如此。

让我们考虑以下可能的情况：如果素数总是成对出现，例如 10...01 和 10...03，那么下一对将出现在 2*ln(n)。对于采样算法，这种分布没有区别，但对于递增算法，在这样一个对内开始的概率几乎为 0，因此这意味着它需要平均走大距离的一半，即ln(n) .

简而言之：要正确估计增量算法的行为，仅知道素数之间的平均距离是不够的。