在 BST 中删除多个节点会改变结果树？答案

【问题标题】：deleting multiple node in BST changes the resulting tree?在 BST 中删除多个节点会改变结果树？
【发布时间】：2015-09-07 13:52:53
【问题描述】：

如果我需要在 BST 中删除多个节点，生成的树是否会改变删除顺序？会保留正常的左右顺序，但我不确定树结构。

这是一个“哲学”问题，我需要对其进行说明或反例。

【问题讨论】：

标签： binary-search-tree

【解决方案1】：

Deleting 1 and 2 in different order results in two different trees反例：删除 1 和 2 的顺序导致不同的 BST。因为当你一开始想删除 2 时，你必须找到它的下一个元素右子树，也就是3，用2代替，但是当你先删除1，然后想删除2时，现在它只有一个孩子，简单地用它的孩子替换它，即4。所以结果是两棵不同的树。

【讨论】：

【解决方案2】：

为了证明删除的顺序对最终的树没有影响，证明任意两个删除操作是可交换的（即如果它们的顺序颠倒它们具有相同的效果）是必要且充分的。

删除节点的影响仅限于该节点及其作为根的子树。因此，如果两个节点是分开的（即两个节点都不在另一个节点之下），那么它们的删除就会通勤。所以唯一感兴趣的案例在另一个的子树中有一个节点。

不失一般性，假设我们使用这样的规则：当我们删除一个有两个孩子的节点时，我们用它的后继节点替换它。我们将较高的称为A，较低的称为B。如果B在A的左子树中，则删除可交换，因为删除A对A的左子树没有影响，而删除B也没有影响在 A 的左子树之外。所以唯一感兴趣的情况是当 B 在 A 的右子树中时。

删除 A 后，对 A 的右子树的影响与删除 A 的后继树相同。假设B 不是 A 的继任者；我们将调用 A 的后继者 C。删除 A 包括从右子树中删除 C 并将 A 替换为 C（可交换），因此如果删除 B 和 C 可交换，则删除 A 和B 通勤。通过归纳，如果任何一对删除不可以交换，那么 A 和 B 的删除（其中 B 是 A 的后继者）不可以交换。

但是通过检查删除 A 及其后继者确实可以通勤。 Q.E.D.

【讨论】：

和 +1 用于归纳演示。
@SarahStrand：虽然我很不愿意承认，但我的回答并不完整。我的证明取决于删除方法的特定选择，并且还有其他（合法的）方法可以使删除不总是通勤。 所以正确答案是“视情况而定”。