在任何范围内为两个数组找到最大值的算法

Question

假设我们有两个长度相等的整数数组，a_1, ..., a_n 和 b_1, ..., b_n。对于任何给定的索引对i 和j 与1<=i<j<=n，我们需要找到a_k, ..., a_{l-1}, b_l, ..., b_{j-i+k} 与0<=k<=n-j+i 和l 形式的任何序列的最小值的最大值可以是j-i+k+1，即该序列纯粹来自数组a。当k=0时，序列纯粹来自数组b。

我们希望非常高效地对所有 i 和 j 对执行此操作。

例子，给定

`a=[3,2,4,1]` and `b=[4,6,1,3]`
when `i=1, j=3`, the sequence can be
`[3,2,4]`, min is 2
`[3,2,1]`, min is 1
`[3,6,1]`, min is 1
`[2,4,1]`, min is 1
`[2,4,3]`, min is 2
`[2,1,3]`, min is 1
`[4,6,1]`, min is 1
`[6,1,3]`, min is 1

所以这个输入的最大值是 2。

有没有什么好方法可以高效运行？

Answer 1

似乎可以让蛮力方法运行得相当快。

如果您将每个序列预处理成平衡树，其中每个节点都使用该子树的最小值进行扩充，那么您可以通过在适当的位置拆分树在 O(log n) 时间内找到该序列的任何子范围的最小值点。例如，请参阅this paper 了解更多信息。请注意，此预处理需要 O(n) 时间。

我们将范围 (i,j) 称为 窗口。这个问题的复杂程度不取决于具体的(i,j)，而是取决于窗口的大小（即j-i+1）。对于 m (=j-i+1) 的窗口大小，有 n-m+1 个该大小的窗口。对于每个窗口，您可以在 m+1 个位置“剪切”窗口，以便元素的某些前缀来自序列a，而后缀来自序列b。您为每次切割支付 O(log n) （如我上面提到的那样拆分二叉树）。这是 O((n-m+1) * (m+1) * log(n)) 的总成本。

可能有一种更快的方法来做到这一点，通过重复使用拆分，或者通过注意附近的窗口共享很多元素。但无论如何，我认为我上面提到的二叉树拆分技巧可能会有所帮助！