上下文无关语法分析树

Question

我有相等数字 x 和 y 的字符串。我的 CFG 应该以 xy、xyxy、xyxyxy、xxxyyy 和 xxyxyy 的形式接受它们。

我想出了这些生产规则：

S --> SAB |e

A --> xSy |e

B --> ySx |e

我正在创建解析树，但我并不完全理解。这就是我所做的

                                      S
                                   /  |  \
                                  S   A   B
                                 /  / | \   \
                               e   x  S  y    e
                                    / | \
                                  S   A   B
                                 /  / | \   \
                                e  x  S  y   e
                                      |
                                      e

如果我理解正确，上面的解析树代表 xyxy.... 如果我继续的话，也是这样一个

这怎么代表xxyy？

怎么能代表xxyxyy？

这是我不明白的......

Answer 1

首先，我不确定树的正确阅读顺序是什么——我认为它是有序的，因为它通常与几乎所有内容（比较 the Wikipedia article on tree traversals）但我不确定那是对。 （如果这是错误的，你会想要不同的树，但想法应该翻译。）

在该读数下，您的示例树表示xxyy。通过进一步用S-A-S-A-… 链替换最底部的ε，您将获得xx…yy 的任意链。

要表示xy…xy，您可以交替扩展As 和Bs 为xSy 或ySx，即：S → SAB，然后是B → ε 和A → xSy；在下一层再次展开S → SAB，但现在做A → ε 和B -> ySx；根据需要继续。一个例子：

            S
           /|\
          / | \
         S  A  B
        /  /|\  \
       ε  / | \  ε
         x  S  y
           /|\
          / | \
         S  A  B
        /  /  /|\
       ε  ε  / | \
            y  S  x
               |
               ε

这应该匹配xyxy，并且可以再次在底部展开更长的序列。

为了节省空间，我将把解析树中从根开始的最长路径称为“脊椎”。 （对于这里的简单示例，所有偏离“脊柱”的路径都是方便的终端符号，因此对树的这种描述是唯一的（足够）。一般来说，“侧路径”更复杂，所以这个定义通常是无用的。这里，效果很好。）

对于这里绘制的树，它的“脊椎”将是SASBSε（请从中间往下读）。扩展为任意嵌套，将变为(SASB)<sup>*</sup>(SA)<sup>?</sup>Sε。

你在上面画的树有“脊椎”SASASε，对于任意长的xxx…yyy序列，你会得到(SA)<sup>*</sup>Sε。

xxyxyy 很容易用同样的方式描述：它的“脊椎”是SASASBSε。

一般来说（对于这个语法），对于任何“反向镜像”的序列（后半部分是前半部分反转并且 x/y 交换 - 即x|y，xyx|yxy，xxy|xyy，... )，您可以通过只取前半部分并扩展x → SA、y → SB 并在到达中间时添加Sε 来构建这个“脊椎”。 （当然，对于像xxyyyx 这样更复杂的模式，这会失败。寻找一种方法来快速为这些不对称模式生成树作为练习留给读者;-)。）