抽引理表明 `{a^n b^m | n=km for k in N}` 不规则

Question

我应该如何使用抽水引理证明L={a^n b^m | n=km for k in N} 不是常规语言？

我从L、w=a^n b^m 和n=km 中的一些k 中的k 开始。 w 有三种可能的分解方式：

1. a^i * a^j * a^(n-i-j) b^m
2. a^i * a^(n-i) b^j * b^(m-j)
3. a^n b^i * b^j * b^(m-i-j)

在第2）点抽中间部分会导致混词，这显然不是L，但我不明白为什么1）不能给你一个很好的分解：

假设你抽了a^jx 次。那么新单词中a的数量将是i+xj+n-i-j = n+(x-1)j。我们知道n=km 有一些m。我们必须证明存在一个x，使得新词不在L 中。但是让我们假设j=m（这当然是可能的，因为n=km 总是有足够数量的a，除非k=0，但是我们得到了一个微不足道的情况）。然后是n+(x-1)j = km+(x-1)m = m(n+x-1)，其形式为{a^n b^m | n=km for k in N}，适用于所有x。所以对于每个w，我们有一个分解uvz，这样u v^i z就在L中，对于所有i。因此，根据抽水引理，L 是正则的。

我错过了什么？

编辑：给出的 Pumping 引理的公式：

让L 成为具有k 状态的DFA 接受的常规语言。让w 是L 中长度为>= k 的任何单词。那么w 可以写成u v z 与|uv| <=k，v>0 和u v^i z 在L 对于所有i>=0

Answer 1

可能更简单的证明方法是首先修改语言。

因为正则语言在补码和与另一个正则表达式的交集下封闭。

这意味着您可以通过证明complement(L) 不是常规语言来证明L 不是常规语言，因为如果L' 是常规语言，则L 是常规语言，反之亦然。交叉路口也是如此。

证明 L' 也不是正则就足够了：

L' = intersection(complement(L),a*b*})

这样

L'={a^nb^m|n != k*m, for any k in N}

然后证明变得更容易了，因为您可以显示您用作抽水引理的任何部分，如果它的长度为l，您可以抽水足够多次以达到倍数。