DFA 到数学符号

Question

假设我有一个带有字母 {0,1} 的 DFA，它基本上接受任何字符串，只要没有连续的 0（一次最多一个 0）。如何用数学符号表示？

我在想任意数量的 1，后跟一个或没有 0，然后是任意数量的 1……但无法找出合适的数学符号。

我的尝试但显然不正确，因为 1010 应该被接受，但符号并未表明如此：

Answer 1

作为正则表达式，您可以将其写为1*(01+)*0?。任意多个 1，然后是任意多个组，恰好是一个零，后跟至少一个 1，最后可能是一个零。 Nico 已经在评论中写了这么多。我个人认为这样的正则表达式足够正式，可以称之为数学。

现在如果你想用指数来写这个，你可以这样做

L = {1^a (0 1^1+b_i)^c 0^{d mod 2} | a,b_i,c,d ∈ ℕ for 1≤i≤c}

在指数中编写一些公式有很大的好处，您不必将使用指数的地方和定义范围的地方分开。这里我所有的数字都是自然数（包括零）。添加一个意味着至少重复一次。并且模2使指数0或1表示正则表达式中的?。

当然，这里有一个隐含的假设，即c作为一种循环，但它并不是每次都重复同一个表达式，而是b_i 每次迭代都会发生变化。 i 的范围暗示了这种解释，但它仍然可能被认为是令人困惑甚至不正确的。

这里的正确解决方案是使用一些正式的产品符号，使用带有下标 i = 1 和上标 c 的大 ∏。这表明对于从 1 到 c 的每个 i 您都想计算给定的表达式（即 01^1+b_i) 并连接所有生成的单词。

你也可以给出一个递归定义：以下定义的最小定点

L' = {1, 10} ∪ {1^a 0 b | a ∈ ℕ, a > 0, b ∈ L'}

是所有以 1 开头并满足您的条件的单词的语言。从这里你可以构建

L = {ε, 0} ∪ L' ∪ {0 a | a ∈ L'}

所以你添加空单词和唯一的零，然后从 L' 中取出所有单词，以未修改的形式和前面添加零的形式。