for循环中if-else语句的时间复杂度答案

【问题标题】：Time complexity of if-else statements in a for loopfor循环中if-else语句的时间复杂度
【发布时间】：2015-06-12 21:43:02
【问题描述】：

令A[1, ..., n]为在每个位置存储一个位（1或0）的数组，f(m)为时间复杂度为θ(m)的函数。考虑以下用类似 C 语言编写的程序片段：

案例1：-

counter = 0;
for (i = 1; i < = n; i++)
{ 
  if (A[i] == 1) 
     counter++;
  else {
     f(counter); 
     counter = 0;
  }
}

案例2：-

counter = 0;
for (i = 1; i < = n; i++)
{ 
  if (A[i] == 1) 
     counter++;
  else {
     counter = 0;
     f(counter); 
  }
}

这个程序片段的复杂度是

(A) Ω(n2)

(B) Ω(nlog n) 和 O(n2)

(D) O(n)

问题是我如何知道何时使用 if 语句或 else 语句以及何时调用 f(m) 函数，我该如何处理它？我可以考虑仅执行 if 或仅执行 else 的情况，但是有时执行 if 语句和有时执行 else 语句时的一般情况呢

【问题讨论】：

嗯.... 好吗？你有问题吗？
问题是我怎么知道何时使用 if 语句或 else 语句以及何时调用 f(m) 函数
你被分配了这个任务来帮助你学习一些东西。在这里获得此类问题的答案对您没有帮助。

标签： if-statement for-loop time-complexity asymptotic-complexity

【解决方案1】：

我们可以从简单的案例 2 开始。显然，每次我们通过案例 2 的循环时，都会发生以下两种情况之一：

count 增加（需要 O(1) [除了not really，但我们只是说它适用于在固定长度数字（即 32 位整数）上运行的计算机）]）
count 设置为 0（这需要 O(1) [再次，值得商榷]）并计算 f(count)（这肯定需要恒定时间）

我们循环 n 次，每次实际上需要 O(1) 时间，bada-bing，bada-boom，如果你是，它需要 O(n)（或 O(n * lg(n))迂腐且使用变长整数）。

另一方面，案例 1 需要一点数学思维。

案例 1 中耗时最短的位串显然是 11111....11111、000....000、000...0111...111 或类似的。所有这些都需要 θ(n) 时间来完成，为案例 1 建立了一个下限。现在，我们需要建立一个最坏的情况。

无需经过严格的适当证明，就可以很简单地断言最坏情况的位串如下所示：

111....1110

上述形式的长度为 100 的位串将有 99 个 1，因此需要99 + 99 时间单位才能完成。长度为 n 的字符串显然需要2(n - 1) 时间单位才能完成。

这显然在 n 中仍然是线性的，所以情况 1，即使在最坏的情况下，也是 θ(n)。

因为情况1和情况2都是θ(n)，所以问题是θ(n)。

如果您仍然需要确信11.....110 是最坏情况的位串，请考虑以下情况：

A bit string of the form
|--------------n bits------------|
1....101....101....10......1....10
|-L1-| |-L2-| |-L3-|       |-Lm-|
11110
Where L1 - Lm are arbitrary integers will require time 
t = (L1) + (L2) + (L3) + ... + (Lm) + (n - m)
  = sum(L1 to Lm) - m + n

the more "runs" of ones there are, the larger the - m factor is.  If we 
just have one big "run" of ones, we have

t = n - 1 + n - 1 = 2(n - 1)

作为matter of principle，我不会回答有关stackoverflow 的糟糕家庭作业问题。

然而，在与 coder101 聊天后，他/她向我展示了这不是家庭作业问题，而是从在线数据库 here 检索到的问题，即旨在为“极客”提供“模拟测试”。这看起来像是 coder101 赋予自己的一个挑战，虽然这可能是一个更好的问题，但我认为它并没有那么糟糕。

【讨论】：