如何将多值逻辑转换为高效的布尔逻辑？

Question

假设我有一个由{0₁, ¯1₂, 0₂, 1₂, ¯2₃, ¯1₃, 0₃, 1₃, 2₃, ¯3₄, ¯2₄, ¯1₄, 0₄, 1₄, 2₄, 3₄} 组成的集合S。我想在S上定义以下操作：

• S < 0 当且仅当 S 为负时才返回一个。
• ¯S 返回 S 的否定。
• S + 0 返回 S 加零，即 S 不变。
• S + 1 返回 S 的绝对值加一，以下标为模。例如：
  • ¯1₃ + 1 和 1₃ + 1 都计算为 2₃。
  • ¯2₃ + 1 和 2₃ + 1 都计算为 0₃。
  • 表达式0₃ + 1 的计算结果为1₃。
• S ¢ 0 返回 S + 0 的 carry，它为零。
• S ¢ 1 返回 S + 1 的进位，当且仅当 S + 1 = 0ₙ 对应于 n > 1。

这些信息可以以真值表的形式捕获：

  S  S<0 ¯S  S+0 S+1 S¢0 S¢1
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 0₁│ 0 │ 0₁│ 0₁│ 0₁│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│¯1₂│ 1 │ 1₂│¯1₂│ 0₂│ 0 │ 1 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 0₂│ 0 │ 0₂│ 0₂│ 1₂│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 1₂│ 0 │¯1₂│ 1₂│ 0₂│ 0 │ 1 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│¯2₃│ 1 │ 2₃│¯2₃│ 0₃│ 0 │ 1 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│¯1₃│ 1 │ 1₃│¯1₃│ 2₃│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 0₃│ 0 │ 0₃│ 0₃│ 1₃│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 1₃│ 0 │¯1₃│ 1₃│ 2₃│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 2₃│ 0 │¯2₃│ 2₃│ 0₃│ 0 │ 1 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│¯3₄│ 1 │ 3₄│¯3₄│ 0₄│ 0 │ 1 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│¯2₄│ 1 │ 2₄│¯2₄│ 3₄│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│¯1₄│ 1 │ 1₄│¯1₄│ 2₄│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 0₄│ 0 │ 0₄│ 0₄│ 1₄│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 1₄│ 0 │¯1₄│ 1₄│ 2₄│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 2₄│ 0 │¯2₄│ 2₄│ 3₄│ 0 │ 0 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ 3₄│ 0 │¯3₄│ 3₄│ 0₄│ 0 │ 1 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

我想要做的是将这个多值真值表转换为布尔真值表，以便我可以使用按位运算符实现并行化操作。听起来很简单。将0000 分配给0₁，将0001 分配给¯1₂，...，1111 分配给3₄。求解得到的 Karnaugh map 以得到 CNF 或 DNF 表达式并收工。

不幸的是，对于 S 到布尔值的这种幼稚映射，生成的 CNF 或 DNF 表达式可能效率不高。我想找到将这个多值真值表表示为布尔真值表的最有效方法。在这里，高效意味着使用最少的运算符来实现各种运算，优先考虑加法、求反、进位和比较。然而，问题在于有16! 或20922789888000 方法将S 映射到布尔值。有没有比暴力破解更好的方法？

Answer 1

我想不出这个问题的通用解决方案，但这里有一个针对我的问题的具体解决方案。我们首先将集合S 分成两个不相交的集合S₁ 和S₂。集合S₁ 将包含0₁ 和下标₄ 元素。集合S₂ 将包含下标₂ 和下标₃ 元素：

S₁ = {0₁, ¯3₄, ¯2₄, ¯1₄, 0₄, 1₄, 2₄, 3₄}
S₂ = {¯1₂, 0₂, 1₂, ¯2₃, ¯1₃, 0₃, 1₃, 2₃}
S  = S₁ ∪ S₂

现在，我们可以分别为S₁ 和S₂ 解决这个问题。但是，我们希望以解决方案相似的方式来做到这一点。因此，当我们组合它们时，我们可以利用相似性来减少所涉及的操作数量。这是我想出的解决方案：

关于我的解决方案有两点需要注意：

1. 所有零元素都属于C'D' 列。因此，使用C+D 很容易选择其余元素。这稍后会派上用场。
2. 负元素始终位于B 行中，并且与对应的正元素位于同一列。这使得否定和检查是否否定变得容易。

无论如何，这里是使用位运算符实现的操作，其中(A, B, C, D) ∈ S:

(A, B, C, D) < 0 = B (C + D)

¯(A, B, C, D)    = (A, B ^ (C + D), C, D)

(A, B, C, D) + M =
    E = C D
    N = M'
    (A, B N + M E,
        C N + M (A ^ C ^ D ^ A E),
        D N + M D' (B + C))

(A, B, C, D) ¢ M = M D (A + C)

加法、进位、求反、比较所需的运算次数分别为18、3、2、2。请注意，对于否定我们只需要修改B，对于加法我们不需要修改A。 Common subexpression elimination 和 xor 操作用于 reduce 操作。

我不知道是否有可能做得比这更好。这是我想出的最佳解决方案。