自定义二分查找

Question

在二分查找中，我们将数组分成 2 份，然后通过递归使用二分查找再次在单个数组中进行查找。

现在，如果我使用三元搜索，而不是二分搜索，搜索会将数组分成 3。我的问题是：

• 三元搜索是否会比二分搜索快，反之亦然？
• 在什么条件下，哪种算法会执行得更好？
• 性能是否取决于数组的大小？

Answer 1

从Wiki's 开始，三叉搜索树是一种三叉树，其中节点相对于搜索键是按顺序排列的。如果搜索键是字符串，则每个节点存储一个字符，并且对字符串的搜索由一系列二进制搜​​索组成，对于字符串中的每个字符进行一次搜索：

在二分搜索中，您只需比较并得到另一半。
但是，在您比较的三元搜索中，如果小于，则获得第一个 1/3，否则再次比较，如果小于，则获得第二个 1/3，否则获得最后一个 1/3。

在这里阅读更多：

• Why use binary search if there's ternary search?
• Why binary search instead of triple(3 parts) search ?

Answer 2

嗯，这完全取决于您所说的“更快”是什么意思。渐近地说，它们都在 O(log n) 时间内运行（从技术上讲，二分搜索在 O(log_2(n)) 中运行，而三元搜索在 O(log_3(n)) 中运行，其中 log_k 表示“log base k”；但是，它们仅相差一个常数因子，因此它们都等效于 O(log n))。因此，从算法的角度来看，这两个函数总体上运行的时间相同（即，它们具有相同的时间复杂度）。

也就是说，在某些特殊情况下，一个计算量会比另一个计算量少。例如，如果目标值正好在数组的中间，二分查找将在第一次迭代时返回该值，并且永远不会递归，而三进制则必须递归才能找到该值。类似地，如果目标值正好在数组中的三分之一处，三分查找会立即找到它，而二分查找则需要递归。

Answer 3

如果您谈论的是单处理器系统，则没有渐近差异，并且三元搜索的开销更大。在多处理器/多核系统上，它将（在一定程度上）加速搜索以将其划分为独立的搜索（前提是执行环境/语言允许这样的划分）。但这通常最好只在顶层完成一次。

Answer 4

我很难确定您所说的“三元搜索”是什么意思。二进制搜索将数组分成两半的原因是，您进行的每次比较都会将数组分成两个区域，元素小于考虑的元素，元素大于考虑的元素。我没有看到一种简单的方法来概括这一点，以便通过进行一次比较将数组分成三部分。

但是，如果您不将数组分成相等的两半，而是将其分成 ¹/₃ / ²/ ₃ 在每次迭代中拆分，那么您仍然可以获得 O(lg n) 性能，尽管常数项会更高。事实上，对于任何常数 ε，您将数组拆分为大小为 ε / 1-ε 的片段，您将获得 O(lg n) 行为。

如果在执行比较时将数组分成大小为 εn 和 (1-ε)n 的两部分，仅在数组大小小于 1 时终止，则算法将在 k 步后终止，其中 k 是ε^kn kn

ε^kn

ε^k

k > log_ε 1/n

k > - 对数_ε n

k > - lg n / lg ε

k > lg n / lg ¹/_ε

使用类似的逻辑，但使用 1 - ε，我们得到了

k > lg n / lg ¹/_{(1 - ε)}

请注意，由于 lg ¹/_ε 和 lg ¹/_{(1 - ε)} 是常数，满足这些性质的最小 k 是 O(lg n)。