如何有效地迭代具有常数和的数组组合？

Question

我有一个数组，它的长度是X。数组的每个元素都有范围1 .. L。我想有效地遍历所有具有 sum L 的数组组合。

正确解：L = 4 和 X = 2

1 3
3 1
2 2

正确解：L = 5 和 X = 3

1 1 3
1 3 1
3 1 1
1 2 2
2 1 2
2 2 1

对于我的问题来说，天真的实现（难怪）太慢了（在我的例子中，X 最高为 8，L 最高为 128）。

谁能告诉我这个问题是怎么命名的，或者在哪里可以找到解决这个问题的快速算法？

谢谢！

Answer 1

如果我理解正确，给你两个数字 1 ≤ X ≤ L 并且你想要生成长度为 X 总和为 L。

(注意：这类似于integer partition problem，但不一样，因为您认为1,2,2与2,1,2是不同的序列，而在整数分区问题中我们忽略了顺序，因此这些被认为是同一个分区。）

您要寻找的序列对应于 x - 1个项目的 combinations of l l - 1。 L - 1 依次选择X - 1个，则所选数字之间的间隔长度为正整数，总和为L.

例如，假设 L 为 16，X 为 5。然后从 1 到 15 （含）选择 4 个数字：

开头加0，结尾加16，区间为：

根据需要，3 + 4 + 1 + 6 + 2 = 16。

so @ so generate the combinations of x - 1项从 l - 1中取出的项目，对于每个 l - 1，通过查找间隔，将其转换为分区。例如，在 Python 中你可以这样写：

from itertools import combinations

def partitions(n, t):
    """
    Generate the sequences of `n` positive integers that sum to `t`.
    """
    assert(1 <= n <= t)
    def intervals(c):
        last = 0
        for i in c:
            yield i - last
            last = i
        yield t - last
    for c in combinations(range(1, t), n - 1):
        yield tuple(intervals(c))

>>> list(partitions(2, 4))
[(1, 3), (2, 2), (3, 1)]
>>> list(partitions(3, 5))
[(1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 3, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1)]

有 (L - 1)！ / (X - 1)!(L - X)! X - 1 个项目中的 L - 1 的组合，因此该算法的运行时间（及其输出的大小）在 L中是指数的>。但是，如果不计算输出，它只需要 O(L) 个空间。

如果 L = 128 和 X = 8，则有 89,356,415,775 个分区，因此需要一段时间才能将它们全部输出！

（也许如果您解释为什么要计算这些分区，我们可能会提出一些方法来满足您的要求，而不必实际生成所有分区。）