在线性时间内查找不在列表中的最小非负整数，仅使用列表

Question

考虑一个函数minout :: [Int] -> Int，它接受一个不同的非负整数列表，并返回列表中不存在的最小非负整数。如果输入具有重复项，则函数的行为无关紧要。这可以在线性时间内实现吗，只使用列表（没有数组或向量或其他具有高效随机访问的数据结构）？

（这是here。）

Answer 1

如果l 包含0 和(length l) - 1 之间的所有数字，则minout l 是length l，否则，它位于[0..(length l - 1)]。所以minout l 总是存在于[0..(length l)] 中，只有l 的元素在[0..(length l - 1)] 中是相关的。我们可以丢弃剩余的元素。使用这个想法，我们可以实现一个线性时间的分治法。与归并排序不同，在递归的每一步，我们只递归到两个子列表中的 一个，每个子列表的大小最多为原始大小的一半（在做一些线性工作之后）。这给出了线性时间复杂度。

minout :: [Int] -> Int
minout = minoutaux 0
    where
    minoutaux :: Int -> [Int] -> Int -- \list base -> smallest integer >= base not occuring in list
    minoutaux base [] = base
    minoutaux base [x] = base + (if x==base then 1 else 0)
    minoutaux base xs = if (length smallpart == n2) then  minoutaux (base+n2) bigpart else minoutaux base smallpart
        where
        n = (length xs)
        n2 = n `div` 2
        smallpart = [x | x <- xs , base <= x , x < base + n2]
        bigpart = [x | x <- xs, base + n2 <= x, x < base + n]

在上面的代码中，minoutaux 是一个函数，它给定一个“基”整数和一个具有不同条目的列表，返回至少是基数且不在列表中的最小整数。为此，它会丢弃可以丢弃的“不相关”元素，如前所述，并生成两个列表，由位于 [base、base + n2)（称为smallpart）和 [ base + n2、base + n)（称为bigpart）。这些列表中的每一个的长度最多为n2。如果length smallpart == n2，那么smallpart的所有数字都在[base,base + n2)中，所以答案一定在bigpart中，否则smallpart本身就有一个“缺口”，所以答案在于smallpart。

为什么这会在线性时间内运行？首先，遍历长度为 N 的整个列表几次，比方说，这需要大约 10N 次操作。然后minoutaux 在一个较小的列表上被调用，最大大小为 N/2。所以我们（最多）有 10N/2 更多的操作。然后是 10N/4、10N/8 等等。将所有这些相加，我们得到 10(2N) = 20N 的界限。 （常数 10 只是作为例子）

这里我们多次遍历列表来计算它的长度，计算smallpart，计算bigpart，等等。通过一次完成所有这些，可以相当容易地优化它。然而这仍然是一个线性时间解决方案，我想让代码更清晰，而不是在常数因素上进行优化。

这个问题和解决方案不是我的原创；我在学习 Haskell 时在课堂上遇到过。

Answer 2

Richard Bird 在他的书 Pearls of Functional Algorithm Design 的第 1 章中描述了这个确切的问题。 （那一章恰好是亚马逊上的预览版。）