寻找所有关键路径的算法

Question

我需要创建一个可以在图中找到所有关键路径的算法。

我已经找到了节点的拓扑顺序，计算了每个节点的最早结束时间和最晚开始时间。

我还找到了所有关键节点（即位于关键路径上的节点）。

问题在于将它们放在一起并实际打印出所有这些路径。如果图中只有 1 个关键路径，那么我可以处理它，但如果有多个路径，问题就开始了。

例如，一个节点是多个关键路径的一部分、多个起始节点、多个结束节点等等。我还没有想出一个可以将所有这些因素都考虑在内的算法。

我正在寻找的输出是这样的（如果 a、b、c 等都是节点）：

• a->e
• a->c->f->i->j->k
• a->c->g
• l->e

如果有人可以编写一个算法描述，该算法可以从知道关键节点、拓扑顺序等中找到路径，那就太好了。或者也可以用 C 或 java 代码。

编辑： 这是一个示例，它应该提供我之前发布的输出。关键路径为红色，每个节点的值都标在其上方或附近。

Answer 1

最近开始时间的计算也几乎提供了关键路径。您需要从终端节点构造结果，然后倒退：

1. 找出所有最早结束时间最长的节点 (t=11, nodes = {e,g,k})
2. 对于它们中的每一个，找到所有具有本地最大最早结束时间的前驱。 对于 e，l 和 k 都有 t=2，所以你得到 l->e，a->e。对于g，t=6，对于节点c， 所以你得到c->g。对于 k，t=10，但只有 j 将其作为结束时间，所以你得到 j->k。
3. 重复直到到达起始节点。 l->e 和 a->e 已经是起始节点。 c->g 有唯一的前身 a，所以你得到 a->c->g。 j->k 有 t=9，这是 i 的结束时间， 所以你得到 i->j->k。

Answer 2

我不完全理解你的问题：什么是关键路径？您可能会得到以下帮助： 计算 Minimum Spanning Tree 或 Dijkstra's shortest path algorithm 的算法 - 尽管您可能已经知道这些算法。