在 Matlab 中转置矩阵和求解线性系统时出现奇怪的数值错误答案

【问题标题】：Strange numerical error when transposing a matrix and solving a linear system in Matlab在 Matlab 中转置矩阵和求解线性系统时出现奇怪的数值错误
【发布时间】：2022-01-13 21:05:18
【问题描述】：

我偶然发现了 MATLAB 中相当奇怪的行为。求解线性方程组的运算符 \ 有时会产生不同的结果，但唯一改变的是转置运算符的位置。

看看这个例子：

A0 = rand(4);
b = rand(4,1);
A1 = A0';
x0 = A0\b;
x1 = A1'\b;
x2 = linsolve(A0,b);
x3 = linsolve(A1',b);
x4 = mldivide(A0,b);
x5 = mldivide(A1',b);

x0 = x2 = x3 = x4 = x5 但x0 != x1（它们的大小相差 10^-15）

上面例子中的A0是：

   0.781931966588002   0.530872257027928   0.112283962156027   0.964422667215901
   0.100606322362422   0.091498731339412   0.784427890743913   0.432484993970361
   0.294066333758628   0.405315419880591   0.291570317906931   0.694752194617940
   0.237373019705579   0.104846247115757   0.603533438750887   0.758099275289454

而b 是：

   0.432642326147101
   0.655498039803537
   0.109755050723052
   0.933759848385332

我知道这可能不会导致任何实际问题，但我仍然很好奇为什么会发生这种情况。

【问题讨论】：

更奇怪的是：A0'\b不仅与A1\b不同，还与ctranspose(A0)\b或transpose(A0)\b不同（后三者相等）
我的猜测：Matlab 的解释器很聪明，将 A0'\b 替换为 (b'/A0)'（对于非复数也是如此；我没有测试复数）。为什么会这样做？因为转置两个向量比转置矩阵要快。为什么结果会不同？因为\ 和/ 可能使用不同的算法，导致不同的、小的数值误差。 Matlab 解释器真的应用了这种优化吗？也许，见this

标签： matlab numeric linear-equation

【解决方案1】：

我怀疑它是解析器以及它如何将矩阵提供给 LAPACK 库例程。例如，在 A'*B 的矩阵乘法中，A 和 B 是矩阵，转置操作没有明确完成。相反，MATLAB 使用适当的标志调用适当的 BLAS 例程（例如，DGEMM），以便完成等效的操作，但可能会导致与您先显式完成转置的操作顺序不同。我怀疑您的示例可能就是这种情况，并且转置没有明确完成，但标志在后台传递给 LAPACK 库例程以完成数学上等效的操作，但实际操作顺序不同导致答案略有不同。

【讨论】：