在 Big-O 分析中计算 c 和 n 子零

Question

MyCodeSchool.com 上的优秀人士有 this introductory video on YouTube，涵盖了 Big-O、Theta 和 Omega 表示法的基础知识。

提供了以下 Big-O 表示法的定义：

O(g(n) ) := { f(n) : f(n) ≤ cg(n) }，对于所有 n ≥ n₀

我对方程的随意理解如下：

给定一个函数f()，它以n为输入，存在另一个函数g()，其输出总是大于或等于f()的输出——给定两个条件：

• g() 乘以某个常数 c
• n 大于某个下限 n₀

我的理解正确吗？

此外，还提供了以下具体示例来说明 Big-O：

给定：

• f(n) = 5n² + 2n + 1

因为以下都是真的：

• 5n² > 2n²，对于所有n
• 5n² > 1n²，对于所有n

如下：

• c = 5 + 2 + 1 = 8

因此，视频得出结论，对于所有n ≥ 1，f(n) ≤ 8n²，并且 g(n) = 8n²

我想也许视频得出的结论是 n₀ 一定是1，因为1 是等式 8n² = 5n² + 2n + 1 （负三分之一也是根，但 n 仅限于整数。所以，没有骰子。）

这是为 Big-O 表示法计算 n₀ 的标准方法吗？

• 在您的多项式中取最大的幂因数
• 乘以时间函数中系数的总和
• 设置他们的乘积等于你的时间函数
• 从零开始
• 拒绝所有不在整数集中的根

任何帮助将不胜感激。提前致谢。

Answer 1

您的理解大多是正确的，但从您的措辞 - “我认为视频可能得出结论 n₀必须 为 1”，我必须指出它取 n₀ 为 2 或 3 等也是有效的。事实上，任何大于 1 的数都满足要求的条件，实际上有 无穷大 对 (c, n₀)!

有很多选择

需要注意的重要一点是，常量c和n₀的值并不真的没关系，我们只关心是否存在一对常量 (c, n₀)。

基础知识

Big-O 表示法描述了给定函数 f 的 渐近行为，它本质上描述了 f上界 /em> 当其输入值足够大时。

正式地说，如果存在一个正常数，我们说f是另一个函数g的大O，即f(x) = O(g(x)) c 和一个常数 n₀ 使得以下不等式成立： f(n) ≤ c g(n)，对于所有 n ≥ n₀

注意，不等式抓住了上限的概念：f的上限是g正倍数/em>。此外，当输入 n 足够大（例如，大于 n₀）时，“for all”条件满足上限成立。

如何选择(c, n₀)？

为了证明 f(x) = O(g(x)) 对于给定的函数 f, g，我们只需要选择 any 对 (c, n₀) 使得不等式成立，然后我们就完成了！

没有标准方法可以找到(c, n₀)，只要使用任何你认为有用的数学工具。例如，您可以固定 n₀，然后通过微积分计算 f(x) 的最大值来找到 c /g(x) 在区间 [n₀, +∞).

在您的情况下，您似乎试图证明 d 次的 多项式 是 x^{d 的大 O sup>}，以下引理的证明给出了 a 选择 (c, n₀) 的方法：

引理

如果f是d次多项式，则f(x) = O(x^d).

证明：我们有 f(x) = a_d x^d + a_d-1 x^{d -1} + ... + a₁ x + a₀，对于每个系数 a_i，我们有一个_i ≤ |a_i| （a_i 的绝对值）。

取 c = (|a_d| + |a_d-1| + ... + |a₁| + | a₀|) ，并且 n₀ = 1，那么我们有：

f(x) = a_d x^d + a_d-1 x^{d-1 sup> + ... + a₁ x + a₀}

≤ |a_d| x^d + |a_d-1| x^d-1 + ... + |a₁| x + |a₀|

≤ (|a_d| + |a_d-1| + ... + |a₁| + |a₀|) x^d

= c x^d，对于所有 x ≥ 1

因此我们有 f(x) = O(x^d)