AMPL 使用迭代操作最小化约束数量

Question

我正在学习 AMPL，以便稍后在我的程序中使用它。我有一个小问题想解决。正如标题所述，我正在尝试使用一些迭代操作来最小化约束的数量。所以问题如下： 假设我有 2 套 A 和 B 并假设我有代码：

set A:= (1, 2, 3) (4, 5, 6);
set B:= a b c;
var x{A,B} binary;    
**some_objective** ;
subject to constraint   { (i,j,k) in A, b in B   }:  x[i,b] + x[j,b] + x[k,b] <= 1;  

现在如果我们扩展之前的约束，将形成以下约束：

x[1,a] + x[2,a] + x[3,a] <=1;

x[1,b] + x[2,b] + x[3,b] <=1;

x[1,c] + x[2,c] + x[3,c] <=1;

x[4,a] + x[5,a] + x[6,a] <=1;

x[4,b] + x[5,b] + x[6,b] <=1;

x[4,c] + x[5,c] + x[6,c] <=1;

这意味着，对于 A 中的 y 子集和 B 中的 z 元素，我们将得到一个总数y*z 个约束（在我们的例子中是 2 x 3 = 6 个约束）。

现在如果我们将约束更改为：

subject to constraint   { (i,j,k) in A   }:  prod {   b in B   }    (x[i,b] + x[j,b] + x[k,b])    <= 1;  

这将导致：

{(x[1,a] + x[2,a] + x[3,a]) * (x[1,b] + x[2,b] + x[3,b]) * (x[1,c] + x[2,c] + x[3,c])} <= 1;

{(x[4,a] + x[5,a] + x[6,a]) * (x[4,b] + x[5,b] + x[6,b]) * (x[4,c] + x[5,c] + x[6,c])} <= 1;

它应该与以前的形式具有相同的结果，但我们将约束的数量从 y*z 减少到 y，这是一个很好的改进！ 另一个改进是在逻辑上和约束：

subject to constraint   { (i,j,k) in A   }:  forall {   b in B   }   (   (x[i,b] + x[j,b] + x[k,b])    <= 1  ); 

这将导致：

{(x[1,a] + x[2,a] + x[3,a]) <= 1} && {(x[1,b] + x[2,b] + x[3,b]) <= 1} && {(x[1,c] + x[2,c] + x[3,c]) <= 1};

{(x[4,a] + x[5,a] + x[6,a]) <= 1} && {(x[4,b] + x[5,b] + x[6,b]) <= 1} && {(x[4,c] + x[5,c] + x[6,c]) <= 1};

问题是，当我们这样做时，我们正在将问题从线性或二次方程变为非二次方程，而 cplex 无法再解决它：/

是否有任何变通方法或任何技巧可以让我在不将问题转换为非二次问题的情况下做到这一点（至少要使用 cplex 来解决）？

x[1,a] + x[1,b] + x[1,c] = 1 也很有用，对于 A 中的任何其他元素也是如此。感谢您的帮助，并提前感谢您。

Answer 1

首先，我想指出，使用 product 的约束并不等同于原始约束。例如，x[1,a] = 1, x[2,a] = 1, x[3,a] = 1 其余 x 等于 0 的解满足使用 prod 制定的约束，因为 (x[1,a] + x[2,a] + x[3,a]) * (x[1,b] + x[2,b] + x[3,b]) * (x[1,c] + x[2,c] + x[3,c]) = 3 * 0 * 0 = 0 <= 1，但不满足原始约束 x[1,a] + x[2,a] + x[3,a] = 3 <= 1。

您可以将逻辑 && 或 forall 与 IBM/ILOG CPLEX CP Optimizer (ilogcp) 一起使用，这对所有 AMPL/CPLEX 用户都可用，但我怀疑这会比单独的约束更好。您可以在“Logic” and Constraint Programming Extensions 页面上找到有关ilogcp 的更多信息，该页面还包括有关如何获取它的信息（如果您有 CPLEX 许可证，您也应该能够获得 ilogcp）。此求解器将接受以下形式的约束：

subject to c{(i,j,k) in A}: forall {b in B} (x[i,b] + x[j,b] + x[k,b] <= 1);