如何在 MATLAB 中对直方图进行归一化？

Question

如何对一个直方图进行归一化，使得概率密度函数下的面积等于1？

Answer 1

我对此的回答与您对earlier question 的回答相同。对于概率密度函数，the integral over the entire space is 1。除以总和将不会为您提供正确的密度。要获得正确的密度，您必须除以面积。为了说明我的观点，请尝试以下示例。

[f, x] = hist(randn(10000, 1), 50); % Create histogram from a normal distribution.
g = 1 / sqrt(2 * pi) * exp(-0.5 * x .^ 2); % pdf of the normal distribution

% METHOD 1: DIVIDE BY SUM
figure(1)
bar(x, f / sum(f)); hold on
plot(x, g, 'r'); hold off

% METHOD 2: DIVIDE BY AREA
figure(2)
bar(x, f / trapz(x, f)); hold on
plot(x, g, 'r'); hold off

您可以自己查看哪种方法与正确答案一致（红色曲线）。

另一种对直方图进行归一化的方法（比方法 2 更直接）是除以 sum(f * dx)，它表示概率密度函数的积分，即

% METHOD 3: DIVIDE BY AREA USING sum()
figure(3)
dx = diff(x(1:2))
bar(x, f / sum(f * dx)); hold on
plot(x, g, 'r'); hold off

Answer 2

自 2014b 以来，Matlab 在 histogram 函数中嵌入了这些规范化例程（请参阅help file，了解此函数提供的 6 个例程）。这是一个使用 PDF 归一化 的示例（所有 bin 的总和为 1）。

data = 2*randn(5000,1) + 5;             % generate normal random (m=5, std=2)
h = histogram(data,'Normalization','pdf')   % PDF normalization

对应的PDF是

Nbins = h.NumBins;
edges = h.BinEdges; 
x = zeros(1,Nbins);
for counter=1:Nbins
    midPointShift = abs(edges(counter)-edges(counter+1))/2;
    x(counter) = edges(counter)+midPointShift;
end

mu = mean(data);
sigma = std(data);

f = exp(-(x-mu).^2./(2*sigma^2))./(sigma*sqrt(2*pi));

两者加起来

hold on;
plot(x,f,'LineWidth',1.5)

这很可能是由于实际问题的成功和接受的答案！

---

编辑 - hist 和 histc 现在是 not recommended，应该使用 histogram。请注意，使用此新功能创建垃圾箱的 6 种方法都不会产生垃圾箱 hist 和 histc 产生。有一个 Matlab 脚本可以更新以前的代码以适应 histogram 的调用方式（bin 边缘而不是 bin 中心 - link）。通过这样做，可以比较@abcd（trapz 和sum）和Matlab（pdf）的pdf 归一化方法。

3pdf 归一化方法给出几乎相同的结果（在eps 的范围内）。

测试：

A = randn(10000,1);
centers = -6:0.5:6;
d = diff(centers)/2;
edges = [centers(1)-d(1), centers(1:end-1)+d, centers(end)+d(end)];
edges(2:end) = edges(2:end)+eps(edges(2:end));

figure;
subplot(2,2,1);
hist(A,centers);
title('HIST not normalized');

subplot(2,2,2);
h = histogram(A,edges);
title('HISTOGRAM not normalized');

subplot(2,2,3)
[counts, centers] = hist(A,centers); %get the count with hist
bar(centers,counts/trapz(centers,counts))
title('HIST with PDF normalization');


subplot(2,2,4)
h = histogram(A,edges,'Normalization','pdf')
title('HISTOGRAM with PDF normalization');

dx = diff(centers(1:2))
normalization_difference_trapz = abs(counts/trapz(centers,counts) - h.Values);
normalization_difference_sum = abs(counts/sum(counts*dx) - h.Values);

max(normalization_difference_trapz)
max(normalization_difference_sum)

新的 PDF 规范化与之前的最大差异为 5.5511e-17。

Answer 3

hist 不仅可以绘制直方图，还可以返回每个 bin 中元素的计数，因此您可以获得该计数，通过将每个 bin 除以总数并使用bar 绘制结果来对其进行归一化。示例：

Y = rand(10,1);
C = hist(Y);
C = C ./ sum(C);
bar(C)

或者如果您想要单线：

bar(hist(Y) ./ sum(hist(Y)))

文档：

• hist
• bar

编辑：此解决方案回答了问题如何使所有 bin 的总和等于 1。仅当您的 bin 大小相对于数据的方差较小时，此近似值才有效。这里使用的和对应于一个简单的求积公式，更复杂的可以使用如 R 提出的trapz。 M.

Answer 4

[f,x]=hist(data)

每个条形的面积是高度*宽度。由于 MATLAB 会为条形选择等距点，所以宽度为：

delta_x = x(2) - x(1)

现在，如果我们将所有单独的条形图相加，总面积将为

A=sum(f)*delta_x

所以正确缩放的图是通过

bar(x, f/sum(f)/(x(2)-x(1)))

Answer 5

abcd 的 PDF 的面积不是一个，这是不可能的，就像许多 cmets 指出的那样。 这里的许多答案都做了假设

1. 假设连续边之间的距离恒定。
2. pdf 下的概率应为 1。在 histogram() 和 hist() 中，标准化应作为 Normalization 和 probability，而不是 Normalization 和 pdf。

图。 1 hist() 方法的输出，图 2 histogram() 方法的输出

两种方法的最大振幅不同，这表明 hist() 的方法存在一些错误，因为 histogram() 的方法使用标准归一化。 我认为 hist() 方法的错误在于部分归一化为pdf，而不是完全为probability。

带有 hist() 的代码 [已弃用]

一些说明

1. 第一次检查：sum(f)/N 如果手动设置了Nbins，则给出1。
2. pdf需要图表g中bin的宽度（dx）

代码

%http://stackoverflow.com/a/5321546/54964
N=10000;
Nbins=50;
[f,x]=hist(randn(N,1),Nbins); % create histogram from ND

%METHOD 4: Count Densities, not Sums!
figure(3)
dx=diff(x(1:2)); % width of bin
g=1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*x.^2) .* dx; % pdf of ND with dx
% 1.0000
bar(x, f/sum(f));hold on
plot(x,g,'r');hold off

输出如图1。

带有 histogram() 的代码

一些说明

1. 第一次检查：a) sum(f) 是 1，如果 Nbins 使用 histogram() 的归一化作为概率进行调整，b) 如果 Nbins 是手动设置而没有归一化，sum(f)/N 是 1。
2. pdf需要图表g中bin的宽度（dx）

代码

%%METHOD 5: with histogram()
% http://stackoverflow.com/a/38809232/54964
N=10000;

figure(4);
h = histogram(randn(N,1), 'Normalization', 'probability') % hist() deprecated!
Nbins=h.NumBins;
edges=h.BinEdges; 
x=zeros(1,Nbins);
f=h.Values;
for counter=1:Nbins
    midPointShift=abs(edges(counter)-edges(counter+1))/2; % same constant for all
    x(counter)=edges(counter)+midPointShift;
end
dx=diff(x(1:2)); % constast for all
g=1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*x.^2) .* dx; % pdf of ND
% Use if Nbins manually set
%new_area=sum(f)/N % diff of consecutive edges constant
% Use if histogarm() Normalization probability
new_area=sum(f)
% 1.0000
% No bar() needed here with histogram() Normalization probability
hold on;
plot(x,g,'r');hold off

图 2 中的输出并满足预期输出：区域 1.0000。

Matlab：2016a
系统：Linux Ubuntu 16.04 64 位
Linux 内核 4.6

Answer 6

对于某些分布，Cauchy 我认为，我发现 trapz 会高估该区域，因此 pdf 会根据您选择的 bin 数量而变化。在这种情况下我会这样做

[N,h]=hist(q_f./theta,30000); % there Is a large range but most of the bins will be empty
plot(h,N/(sum(N)*mean(diff(h))),'+r')

Answer 7

Histogram Adjustments in MATLAB (broken original link, archive.org link) 有一个很好的三部分指南， 第一部分是直方图拉伸。