如何将函数转换为无点形式？

Question

假设我有一个 JavaScript 函数

function f(x) {
  return a(b(x), c(x));
}

如何将其转换为无点函数？通过组合函数？还有资源可以获取更多相关信息吗？

Answer 1

一般来说，当您将函数转换为无点样式时，没有一个简单的规则可以遵循。要么你必须猜测，要么你可以自动化它。在 Haskell IRC 频道中，我们有 lambdabot，它非常适合将 Haskell 函数转换为无点样式。我通常只是参考它，然后如果我需要知道它是如何工作的，我就会倒退。

您的特定示例可以使用几个有用的函数来解决。我将在下面向您展示它是如何工作的，但请注意，它可能需要大量玩耍才能理解。如果您了解非常非常基本的 lambda 演算，这也会有所帮助，因为 JavaScript 语法有时会妨碍您。

不管怎样，这里是：

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基本上，要正确执行此操作，您需要三个函数：fmap(f, g)、ap(f, g) 和 curry(f)。当你拥有这些时，f(x) 很容易定义为（这在例如 Haskell 中看起来更整洁）

f = ap(fmap(curry(a), b), c);

有趣的地方在于定义这三个函数。

咖喱

通常当你在 JavaScript 中定义多个参数的函数时，你会像这样定义它们

function f(x, y) {
    // body
}

然后您可以通过f(3, 4) 之类的方式调用它们。这就是函数式编程中所谓的“uncurried 函数”。您还可以想象定义函数，如

function f(x) {
    return function(y) {
        //body
    }
}

这些函数称为“curried 函数”。 （顺便说一下，如果你想知道这个奇怪的名字，它们是以一个名叫 Curry 的数学家的名字命名的。）Curried 函数是通过做来调用的

f(3)(4)

但除此之外，这两个函数的行为非常相似。一个区别是，当函数被柯里化时，使用无点样式更容易。我们的curry 函数只需要像第一个一样的非柯里化函数，然后将它变成像第二个一样的柯里化函数。 curry 可以定义为

function curry(f) {
    return function(a) {
        return function(b) {
            return f(a, b);
        }
    }
}

现在，您可以使用它了。而不是通过pow(3, 4) 来获得 81，您可以这样做

cpow = curry(pow);
cpow(3)(4);

cpow 是 pow 的柯里化版本。它不会同时接受两个论点——而是分别接受它们。在您的具体情况下，这使我们可以从

function f(x) {
    return a(b(x), c(x));
}

到

function f(x) {
    return curry(a)(b(x))(c(x));
}

这是进步！ （虽然我承认它在 JavaScript 中看起来很奇怪......）现在，开始不那么辣的牧场。

fmap

谜题的第二部分是fmap(f, g)，它将两个函数作为参数并组合它们。我的意思是，

fmap(f, g)(x) == f(g(x))

这很容易定义，我们就让

function fmap(f, g) {
    return function(x) {
        return f(g(x));
    }
}

当您想按顺序执行两件事时，这很有用。假设你想做无用的操作log(exp(x))。你可以用传统的方式做到这一点：

function logexp(x) {
    return log(exp(x));
}

你可以这样做

logexp = fmap(log, exp);

这通常称为组合两个函数。要将其与您的示例联系起来，上次我们将其关闭，我们已将其重构为

function f(x) {
    return curry(a)(b(x))(c(x));
}

我们现在注意到它与fmap 的函数体之间存在一些视觉上的相似性。让我们用fmap重写它，它变成了

function f(x) {
    return fmap(curry(a), b)(x)(c(x));
}

（看看我是如何到达那里的，想象一下f = curry(a) 和g = b。c(x) 的最后一位没有改变。）

ap

我们的最后一个拼图是ap(f, g)，它接受两个函数和一个参数，并且做了一件奇怪的事情。我什至不会尝试解释它，所以我只会向您展示它的作用：

ap(f, g)(x) == f(x)(g(x))

请记住，f 实际上只是两个参数的函数，只是我们编写它的方式稍有不同以便能够发挥作用。 ap 在 JavaScript 中定义为

function ap(f, g) {
    return function(x) {
        return f(x)(g(x));
    }
}

所以，把它放在一个更实际的上下文中：假设你想将一个数字提高到它自身的平方根。你可以这样做

function powsqrt(x) {
    return pow(x, sqrt(x));
}

或者，凭借您对ap 的新知识并记住第一部分中关于currying 的cpow，您也可以这样做

powsqrt = ap(cpow, sqrt);

这是因为cpow 是pow 的咖喱版本。当ap 的定义扩展时，您可以自己验证这是否正确。

现在，为了将所有这些与您的示例联系在一起，我们需要转向

function f(x) {
    return fmap(curry(a), b)(x)(c(x));
}

进入最终的、完全无积分的版本。如果我们查看ap 的定义，我们可以看到我们可以在这里做一些事情来把它变成无点版本！

function f(x) {
    return ap(fmap(curry(a), b), c)(x);
}

基本上，理解这一点的最简单方法是现在“展开”对ap 的调用。用函数体替换对ap的调用！那么我们仅仅通过替换得到的是

function f(x) {
    return function(y) {
        return fmap(curry(a), b)(y)(c(y));
    }(x);
}

我已将一个 x 重命名为 y 以避免名称冲突。这仍然有点奇怪，但我们可以让它更短一点。毕竟和

是一回事

function f(x) {
    return fmap(curry(a), b)(x)(c(x));
}

这是我们开始的！我们对ap 的调用是正确的。如果你愿意，你可以进一步展开它，看看在一切都说完之后，我们实际上最终得到了我们开始的东西。我把它留作练习。

总结

不管怎样，你的代码最后一次重构成功了

function f(x) {
    return ap(fmap(curry(a), b), c)(x);
}

当然是一样的

f = ap(fmap(curry(a), b), c);

就是这样！