固定数量的“（）”对的括号数答案

【问题标题】：number of Parenthesizations for fixed number of "()" pairs固定数量的“（）”对的括号数
【发布时间】：2013-10-10 23:08:03
【问题描述】：

假设我们想计算 n 对括号中不同括号的数量，但“()”对的数量是固定的。我们如何计算这些。

例如：对于 n = 3。即 3 对括号，如果我们想要 k = 2 对“（）”的括号数路数为3。

()(())

(())()

(()())

对于 n = 4,k = 2，它将是 6

((()()))

()((()))

(())(())

(()(()))

((()))()

((())())

【问题讨论】：

但加泰罗尼亚语给出了将 n 对括号括起来的全部方法。我正在寻找的是特殊类型的括号。即具有固定数量的“（）”对。看看我给出的例子。
我认为有一个简洁的公式。我早些时候提出了一些建议，但它是错误的。不过我正在努力。
我也这么认为。而你之前的回答提供了一个很好的方式来看待这个问题。
@ShashankGupta 为什么出错了？看了一会觉得还行，后来又查了删了:(
@PherricOxide 有人向我指出，我的公式不适用于 n==k 或 k==1 等情况以及其他几种情况。 DSM 在他的答案中有正确的公式，但我不知道如何证明他的答案是正确的。

【解决方案1】：

我很确定这是 A001263，也就是 Narayana 数字，公式是

T(n,k) = C(n-1,k-1) C(n,k-1)/k with 1<=k<=n

对 A001263 的一种解释是 T(n,k) 是具有恰好 k 个峰值的 Dyck n 路径的数量，您可以将每个 Dyck 步骤解释为 ( 或 ) 并且每个峰值都解释为 @987654325 @。

【讨论】：