为添加/删除设置平均 O(1) 和最差最大/最小 O(log n)

Question

我可以有一个集合，其中平均添加/删除操作为 O(1)（这对于基于哈希表的集合是典型的）并且最差的 max/min 小于 O(n)，可能是 O(log n)（典型对于基于树的集合）？

upd 嗯，在最简单的情况下，我似乎可以在每次 max/min 消失时重新扫描所有 N 个元素，通常它给我 O(1)。但是我将我的算法应用于股票交易，其中接近最小值/最大值的变化更有可能，所以我只是不想在每次最大值或最小值消失时重新扫描所有内容，我需要比完全重新扫描更智能的东西，它给出了 O(n)。

upd2 在我的例子中，集合包含 100-300 个元素。 max/min 元素的变化很可能，因此 max/min 经常变化。我需要跟踪最大/最小。我仍然希望 O(1) 用于添加/删除。

Answer 1

这是一个不可能的结果，在一个确定性模型中，对于最坏情况、非摊销边界，可以比较和散列键，但没有其他任何东西。 （是的，有很多规定。我赞成 van Emde Boas 树的推荐。）

与比较下限的情况一样，这是一个对抗性论点。对手的游戏计划是插入许多密钥，同时选择性地删除算法拥有最多信息的密钥。最终，算法将无法处理对 max() 的调用。

对手按如下方式决定关键比较。与每个键相关联的是一个二进制字符串。每个键最初都有一个空字符串。当比较两个键时，它们的字符串被最小地扩展，使得它们都不是另一个的前缀，并且根据字典顺序决定比较。例如，使用键 x、y、z，我们可以：

x < y:  string(x) is now 0, string(y) is now 1
x < z:  string(z) is now 1
y < z:  string(y) is now 10, string(z) is now 11.

设 k 是一个操作进行的键比较次数的最坏情况上限。每个键比较最多将总字符串长度增加 2，因此对于最多 3 * n 次插入/删除操作的每个序列，总字符串长度最多为 6 * k * n。如果每当有一个字符串长度至少为 6 * k 的键时，我们插入 2 * n 个不同的键并穿插删除，那么我们在到达具有至少 n 个键的集合的途中最多删除 n 个键，其中每个键都有一个字符串小于 6 * k 位。

将每个密钥的字符串任意扩展为 6 * k 位。密钥字符串的 (6 * k) 位前缀是密钥所属的 bucket。目前，该算法没有关于桶内键的相对顺序的信息。有 2 ** (6 * k) 个桶，我们想象它们按照 (6 * k) 位前缀指定的递增顺序从左到右排列。对于足够大的 n，存在一个具有恒定（取决于 k）部分键的存储桶，并且至少是其右侧组合存储桶的 2 * k 倍。删除后面的键，max() 需要进行线性数量的额外比较，才能整理出现在拥有最大值的大桶，因为删除完成的所需工作最多只有一半多一点。

Answer 2

嗯，你知道max/min < CONST，元素都是数字。基于此，您可以获得O(1) 插入和O(k+n/k) 查找最小/最大¹。

有一个大小为k 的数组，数组中的每个元素都是一个哈希集。在插入时，向array[floor((x-MIN)/MAX-MIN)*k)] 插入一个元素（x=MAX 的特殊情况）。假设元素分布均匀，这意味着每个哈希集都有预期数量的n/k 元素。
删除时 - 类似地从相关集中删除。

findMax() 现在完成如下：找到集合不为空的最大索引 - 它需要 O(k) 最坏情况，O(n/k) 在第一个非空集合中找到最大元素。

寻找最优k：

我们需要最小化 k+n/k。

d(n+n/k)/dk = 1-n/k^2 = 0
n = k^2
k = sqrt(n)

这给了我们O(sqrt(n) + n/sqrt(n)) = O(sqrt(n)) 平均找到最小值/最大值，插入/删除 O(1)。

由于最大值和最小值的极端变化，有时您可能需要“重置”表格，但考虑到“安全边界” - 我相信在大多数情况下这不会成为问题。
每次“重置” DS 时，请确保您的 MAX 类似于 2*max，MIN 类似于 1/2*min。

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(1) 假设所有元素都来自一个已知分布。在我的回答中，我假设一个均匀分布 - 所以 P(x)=P(y) 对于每个 x,y，但很容易将其修改为任何已知分布。