int 上的模运算符

【问题标题】：Modulus operator over intint 上的模运算符
【发布时间】：2014-03-22 18:55:39
【问题描述】：

是否有可能在对一个数字执行 10^9 + 7 的模数 (%) 之后，数字可能仍然超出范围。

我在 CodeChef http://www.codechef.com/problems/FIRESC 上做这个问题并且得到了一个错误的答案，在查看了作者的解决方案后，我将我的最终答案类型更改为 long long int 为 int 并得到了正确的答案。为什么会这样？

【问题讨论】：

我的第一直觉是您使用的变量的宽度太小，无法进行计算。尝试无符号长长。它发生的原因是每个变量可以表示多少位。 int 只能做 ~65k 左右，而 long int 最多只能表示 ~4.5b 左右。

标签： c++

【解决方案1】：

如果您执行像result = (result * x) % MOD 这样的乘法运算，其中result 和x 都可以达到MOD - 1，则中间表达式result * x 可以达到(MOD - 1) 的平方。对于模 10⁹ + 7，这肯定不适合 32 位整数类型。因此计算不正确：基本上，您得到的不是result * x，而是模2³²的相同数量。

例如，从数学的角度来看，(100,001 * 100,001) 模 10⁹ + 7 为 199,931，但以 32 位整数计算时，100,001 * 100,001 变为 1,410,265,409，并且取模 10⁹ + 7 得到 410,265,402。

【讨论】：