与 Functor 不同，Monad 可以改变形状？

Question

我一直很喜欢以下关于 monad 相对于 functor 的能力的直观解释：monad 可以改变形状；函子不能。

例如：length $ fmap f [1,2,3] 始终等于 3。

但是，对于 monad，length $ [1,2,3] >>= g 通常不等于 3。例如，如果g 定义为：

g :: (Num a) => a -> [a]
g x = if x==2 then [] else [x]

那么[1,2,3] >>= g 等于[1,3]。

让我有点困扰的是g 的类型签名。用通用的单子类型定义一个改变输入形状的函数似乎是不可能的，例如：

h :: (Monad m, Num a) => a -> m a

MonadPlus 或 MonadZero 类型类具有相关的零元素，可以用来代替 []，但现在我们拥有的不仅仅是 monad。

我说的对吗？如果是这样，有没有办法向 Haskell 的新手表达这种微妙之处。我想让我心爱的“单子可以改变形状”这句话，更诚实一点；如果需要的话。

Answer 1

我一直很喜欢以下关于 monad 相对于 functor 的能力的直观解释：monad 可以改变形状；仿函数不能。

顺便说一句，您在这里遗漏了一些微妙之处。为了术语，我将Haskell意义上的Functor分为三个部分：由类型参数确定并由fmap操作的参数组件，State中的元组构造函数等不变的部分，以及“形状”以及其他任何内容，例如构造函数之间的选择（例如，Nothing 与 Just）或涉及其他类型参数的部分（例如，Reader 中的环境）。

当然，单独的Functor 仅限于将函数映射到参数部分。

Monad 可以根据参数部分的值创建新的“形状”，这不仅可以更改形状。复制列表中的每个元素或删除前五个元素会改变形状，但过滤列表需要检查元素。

这实质上就是Applicative 在它们之间的拟合方式——它允许您独立组合两个Functors 的形状和参数值，而不会让后者影响前者。

我说的对吗？如果是这样，有没有办法向 Haskell 的新手表达这种微妙之处。我想让我心爱的“单子可以改变形状”这句话，更诚实一点；如果需要的话。

也许您在这里寻找的微妙之处在于您并没有真正“改变”任何东西。 Monad 中的任何内容都不会让您明确地弄乱形状。它允许您根据每个参数值创建新形状，并将这些新形状重新组合成新的复合形状。

因此，您将始终受到创建形状的可用方法的限制。对于完全通用的Monad，您所拥有的只是return，根据定义，它会创建任何必要的形状，使得(>>= return) 是标识函数。 Monad 的定义告诉你，给定特定类型的函数，你可以做什么；它不为您提供这些功能。

Answer 2

Monad 的操作可以“改变”值的形状，以至于>>= 函数将“树”中的叶节点替换为从节点值派生的新子结构（例如“树”的适当一般概念 - 在列表的情况下，“树”是关联的）。

在您的列表示例中，发生的情况是每个数字（叶子）都被新列表替换，当g 应用于该数字时产生的新列表。如果您知道要查找的内容，仍然可以看到原始列表的整体结构； g 的结果还是按顺序排列的，它们只是被拼凑在一起，所以除非你已经知道，否则你无法判断一个结束和下一个开始。

一个更有启发性的观点可能是考虑fmap和join而不是>>=。与return 一起，任何一种方式都给出了monad 的等效定义。不过，在fmap/join 视图中，这里发生的事情更加清晰。继续您的列表示例，第一个 g 是 fmapped 在列表上产生 [[1],[],[3]]。那么这个列表就是joined，对于列表来说就是concat。

Answer 3

仅仅因为 monad 模式包含一些允许形状更改的特定实例，并不意味着 每个 实例都可以进行形状更改。例如，Identity monad 中只有一个“形状”可用：

newtype Identity a = Identity a
instance Monad Identity where
    return = Identity
    Identity a >>= f = f a

事实上，我并不清楚很多单子都有有意义的“形状”：例如，State、Reader、Writer、ST、STM 中的形状是什么意思，或IO monads？

Answer 4

monad 的组合键是(>>=)。知道它由两个单子值组成并读取其类型签名后，单子的威力就变得更加明显：

(>>=) :: Monad m => m a -> (a -> m b) -> m b

未来的行动可以完全取决于第一个行动的结果，因为它是其结果的函数。不过，这种能力是有代价的：Haskell 中的函数是完全不透明的，因此如果不实际运行组合动作，您将无法获得任何有关组合动作的信息。顺便说一句，这就是箭头的用武之地。

Answer 5

具有h 之类的签名的函数除了对其参数执行一些算术运算之外，确实不能做许多有趣的事情。所以，你有正确的直觉。

但是，查看functions with similar signatures 的常用库可能会有所帮助。你会发现最通用的，如你所料，执行通用的单子操作，如return，liftM，或join。此外，当您使用liftM 或fmap 将普通函数提升为一元函数时，您通常会得到一个类似的通用签名，这对于将纯函数与一元代码集成非常方便。

为了使用特定 monad 提供的结构，您不可避免地需要使用有关您所在的特定 monad 的一些知识，以便在该 monad 中构建新的有趣的计算。考虑状态单子(s -> (a, s))。如果不知道那个类型，我们就不能写get = \s -> (s, s)，但是如果不能访问状态，那么在 monad 中就没有多大意义了。

Answer 6

我能想象到的满足要求的最简单的函数类型是这样的：

enigma :: Monad m => m () -> m ()

可以通过以下方式之一实现它：

enigma1 m = m -- not changing the shape

enigma2 _ = return () -- changing the shape

这是一个非常简单的更改——enigma2 只是丢弃了形状并用微不足道的形状替换它。另一种通用变化是将两个形状组合在一起：

foo :: Monad m => m () -> m () -> m ()
foo a b = a >> b

foo 的结果可以具有与a 和b 不同的形状。

第三个明显的形状变化，需要单子的全部力量，是一个

join :: Monad m => m (m a) -> m a
join x = x >>= id

join x 的形状通常与x 本身的形状不同。

结合这些原始的形状变化，可以推导出不平凡的东西，例如sequence、foldM 等。

Answer 7

会

h :: (Monad m, Num a) => a -> m a
h 0 = fail "Failed."
h a = return a

满足您的需求？例如，

> [0,1,2,3] >>= h
[1,2,3]

Answer 8

这不是一个完整的答案，但对于您的问题，我有几件事要说，但实际上不适合发表评论。

首先，Monad 和 Functor 是类型类；他们对类型进行分类。所以说“单子可以改变形状；函子不能”是很奇怪的。我相信您要谈论的是“一元值”或“一元动作”：类型为 m a 的值对于某些类型为 Monad m 的类型为 * -> * 和其他类型的类型为 * .我不完全确定如何称呼Functor f :: f a，我想我会称它为“函子中的值”，尽管这不是对IO String 的最佳描述（IO 是函子）。

其次，请注意，所有 Monad 都必须是 Functors (fmap = liftM)，所以我想说你观察到的区别在 fmap 和 >>= 之间，甚至在 f 和 g 之间，而不是在Monad 和Functor 之间。