二进制到与非门 - 布尔代数

Question

我正在学习数字逻辑课程，我正在尝试将这个二进制数相乘。我不确定什么是进位和结转。老师的幻灯片很可怕。看起来他使用了一个真值表来做到这一点，但它令人困惑。

   X1X0 
 + Y1Y0
   ----
 Z2Z1Z0

我想这就是它的设置方式！现在，对于乘法部分

    1  carry in?
110101 
X 1101
------
101011001  thats what i ended up with. Probobly, not right!

我认为我的真值表应该是这样的：请记住，这不是我上面的答案所设置的

       X1X0 
     + Y1Y0
       ----
     Z2Z1Z0

       X0 Y0   Carry     Z0
       0   0     0        0
       1   0     0        1
       0   1     0        1
       1   1     1        0



  X1  Y1   Carryin            Carryout Z1 
  0   0     0                       0   0
  1   0     0                       0   1
  0   1     0                       0   1
  1   1     0                       1   0
  0   0     1                       0   1
  1   0     1                       1   0

我对 x1 和 y1 部分感到困惑 如果我能看到它的实际效果，并在其倍增时标出“carry in”和“carry out”是什么，那就更容易了。

“进位”是1+1的结果，“进位”是下一个进位的结果吗？

我认为在我们完成真值表之后，进行进位和执行 我们将使用布尔代数，例如：

Z1 = X1• Y1' • Carryin' + X1' • Y1• Carryin' + X1' • Y1' • Carryin + X1• Y1• Carryin 
Carryout = X1• Y1• Carryin' + X1 • Y1' • Carryin + X1' • Y1• Carryin + X1 • Y1• Carryin
Z2 = Carryout

我们将“仅使用 NAND 运算符计算 AND、OR 和 NOT 函数的方程式”。不知道该怎么做！

Answer 1

NAND 只是一个AND 操作，后跟NOT。

就仅使用NAND 实现其他布尔运算而言：

  NOT a = a NAND a

a | (a NAND a) | result
--+------------+-------
0 |     1      |  OKAY
1 |     0      |  OKAY

a AND b = NOT (NOT (a AND b))
        = NOT (a NAND b)
        = (a NAND b) NAND (a NAND b)

a | b | x=(a NAND b) | (x NAND x) | result
--+---+--------------+------------+-------
0 | 0 |      1       |     0      |  OKAY
0 | 1 |      1       |     0      |  OKAY
1 | 0 |      1       |     0      |  OKAY
1 | 1 |      0       |     1      |  OKAY

a OR  b = NOT((NOT a) AND (NOT b))               # DeMorgans Law
        = NOT((a NAND a) AND (b NAND b))
        = NOT(NOT ((a NAND a) NAND (b NAND b)))
        = (a NAND a) NAND (b NAND b)

a | b | x=(a NAND a) | y = (b NAND b) | (x NAND y) | result
--+---+--------------+----------------+------------+-------
0 | 0 |       1      |        1       |      0     |  OKAY
0 | 1 |       1      |        0       |      1     |  OKAY
1 | 0 |       0      |        1       |      1     |  OKAY
1 | 1 |       0      |        0       |      1     |  OKAY