“n * (rand() / RAND_MAX)” 是否会产生偏斜的随机数分布？

Question

我想找到一种在 C 中获取随机数的不偏不倚的方法（尽管我最多将它用于 0-20 的值，更可能只用于 0-8）。我看过这个公式，但是在运行了一些测试之后，我不确定它是否有偏差。有什么帮助吗？

这是使用的完整功能：

int randNum() 
{ 
    return 1 + (int) (10.0 * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
}

我使用以下方法播种：

unsigned int iseed = (unsigned int)time(NULL);
srand (iseed);

我尝试过下面建议的那个拒绝为我工作

int greek; 
for (j=0; j<50000; j++) 
{ 
greek =rand_lim(5); 
printf("%d, " greek); 
greek =(int) (NUM * (rand() / (RAND_MAX + 1.0))); 
int togo=number[greek]; 
number[greek]=togo+1; 
}

当我注释掉 printf 时，它停止工作并给我同样的数字 50000 次。

Answer 1

是的，它是倾斜的，除非您的 RAND_MAX 恰好是 10 的倍数。

如果你取从 0 到 RAND_MAX 的数字，并尝试将它们分成 10 堆，你真的只有三种可能：

1. RAND_MAX 是 10 的倍数，堆出来的都是偶数。
2. RAND_MAX 不是 10 的倍数，堆出来的东西不均匀。
3. 一开始您将其分成不均匀的组，但丢弃所有可能使其不均匀的“额外”。

你很少能控制 RAND_MAX，而且它通常是一个素数。这真的只剩下 2 和 3 的可能性。

第三个选项大致如下： [编辑：经过一番思考，我修改了这个以产生范围 0...(limit-1) 的数字，以适应 C 和 C++ 中大多数事情的工作方式。这也简化了代码（一点点）。

int rand_lim(int limit) {
/* return a random number in the range [0..limit)
 */

    int divisor = RAND_MAX/limit;
    int retval;

    do { 
        retval = rand() / divisor;
    } while (retval == limit);

    return retval;
}

对于任何质疑这种方法是否会产生偏差的人，我还编写了一个完全不同的版本，纯粹用于测试。这个使用了一个范围非常有限的绝对非随机生成器，因此我们可以简单地遍历范围内的每个数字。它看起来像这样：

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

#define MAX 1009

int next_val() {
    // just return consecutive numbers
    static int v=0;

    return v++;
}

int lim(int limit) {
    int divisor = MAX/limit;
    int retval;

    do {
        retval = next_val() / divisor;
    } while (retval == limit);

    return retval;
}

#define LIMIT 10

int main() {

    // we'll allocate extra space at the end of the array:
    int buckets[LIMIT+2] = {0};
    int i;

    for (i=0; i<MAX; i++)
        ++buckets[lim(LIMIT)];

    // and print one beyond what *should* be generated
    for (i=0; i<LIMIT+1; i++)
        printf("%2d: %d\n", i, buckets[i]);
}

所以，我们从 0 到 1009 的数字开始（1009 是质数，所以它不会是我们选择的任何范围的精确倍数）。因此，我们从 1009 个数字开始，并将其分成 10 个桶。这应该在每个桶中提供 100 个，并且 9 个剩菜（可以这么说）被 do/while 循环“吃掉”。正如它现在所写的那样，它分配并打印出一个额外的桶。当我运行它时，我在每个存储桶 0..9 中得到正好 100，在存储桶 10 中得到 0。如果我注释掉 do/while 循环，我会在 0..9 中的每个存储桶中看到 100，并且9 在 10 号桶中。

为了确定起见，我已经针对生成的范围（主要使用素数）和存储桶的数量使用各种其他数字重新运行了测试。到目前为止，我还不能让它为任何范围产生偏斜的结果（当然，只要启用了do/while 循环）。

另一个细节：我在这个算法中使用除法而不是余数是有原因的。 rand() 的良好（甚至体面）实现是无关紧要的，但是当您使用除法将数字限制在一个范围内时，您会保留输入的 高位。当您使用余数执行此操作时，您会保留输入的 lower 位。碰巧的是，对于典型的线性同余伪随机数生成器，低位的随机性往往低于高位。一个合理的实现会丢弃一些最低有效位，从而使这无关紧要。另一方面，rand 的一些实现非常糟糕，其中大多数，通过使用除法而不是余数，你最终会得到更好的输出质量。

我还应该指出，有个生成器的作用大致相反——低位比高位更随机。至少在我的经验中，这些是相当少见的。高位更随机的那个相当更常见。