基本情况不是 O(1) 的递归函数的时间复杂度答案

【问题标题】：Time Complexity of a recursive function where the base case isn't O(1)基本情况不是 O(1) 的递归函数的时间复杂度
【发布时间】：2020-10-25 16:55:50
【问题描述】：

我见过的大多数递归函数（例如 Fibonacci 或 Hanoi）都有 O(1) returns，但如果不是 O(1) 而是 O(n)？

例如，具有 O(n) 基本情况的递归斐波那契：

class fibonacci { 
    static int fib(int n) { 
      if (n <= 1) 
        for (int i=0;i<n;i++) {
          // something
        }
      return n;
    return fib(n-1) + fib(n-2); 
    } 
       
    public static void main (String args[]) 
    { 
    int n = 9; 
    System.out.println(fib(n)); 
    } 
}

【问题讨论】：

您必须计算基本情况由fib(n) 触发的次数；将此计数乘以基本情况的复杂性；并将其添加到您的复杂性计算中。斐波那契的这段代码已经非常复杂了。添加n * (number of calls to fib(0) and fib(1)) 只会让情况变得更糟。
我从中截取这个的网站说斐波那契复杂度（没有 for 循环）是 O(2^n)，这个复杂度是多少？ O(2^n+n*2^n)?
是的。请注意，O(2^n) 是斐波那契简单实现的粗略上限。它实际上是 Θ(φ^n) ≈ Θ(1.618^n)。如果两个递归调用是对fib(n-1)，则为Θ(2^n)，但其中一个是对fib(n-2)，这使它稍微快一些。

标签： performance recursion time-complexity fibonacci

【解决方案1】：

您在此处编写的函数的基本情况实际上仍然具有时间复杂度O(1)。原因是如果base case在这里触发，那么n≤1，所以这里的for循环最多会运行一次。

因为当输入大小较小时会触发很多基本案例，所以当算法的输入大小为 O(n) 时，相对而言很少会获得运行时间为 O(n) 的基本案例em>n。这意味着基本情况与数组大小无关，这可能会发生，但有些不寻常。

一个更常见的情况 - 尽管我认为仍然很不常见 - 是递归函数有两个不同的参数（例如，n 和 k )，其中递归减少了 n 但保持 k 不变。例如，假设您使用此处的代码并将基本情况下 n 上的for 循环替换为基本情况下 k 上的for 循环。然后会发生什么？

这是一个有趣的问题。在这个特定问题的情况下，这意味着完成的总工作将由 O(k) 乘以触发的基本案例数加上 O(1)乘以非基本情况递归调用的次数。对于斐波那契递归，触发计算 F_n 的基本情况数为 F_n+1 并且有 (F_n+1 - 1 ) 非基本情况调用，因此整体运行时间为 Θ(k F_n+1 + F_n+1) = Θ(k φⁿ）。对于河内塔，您同样会看到整体运行时间为 Θ(k 2ⁿ) 的缩放效果。但是对于其他递归函数，运行时可能会以不同的方式发生变化，具体取决于这些函数的结构。

希望这会有所帮助！

【讨论】：