部分斐波那契和，如何提高性能？

Question

我需要改进这个算法的性能。我相信答案在于皮萨诺时期的应用。

此算法必须返回从 f(m) 到 f(n) 的 fib 数之和的最后一位。

这是我目前所拥有的：

def fib(n)
    a = []
    a << 0 << 1
    (n+1).times do |i|
        a << a[-1] + a[-2]
    end
     a[n]
end


def fib_partial_sum(m, n)
    if n == m
        fib(m) % 10
    else
        m = fib(m + 1) - 1
        n = fib(n + 2) - 1
        (n - m) % 10
    end
end

if __FILE__ == $0
  m, n = gets.split().map(&:to_i)
  puts "#{fib_partial_sum(m, n)}"
end

任何 fib num 的最后一位数字每 60 个数字重复一次。因此，我们可以这样做，n, m = n % 60, m % 60。在输入 567717153638 567717153638 上进行了改进，但还没有完全实现：

def fib(n)
    a = []
    a << 0 << 1
    (n+1).times do |i|
        a << a[-1] + a[-2]
    end
     a[n]
end

def fib_partial_sum(m, n)
    if n == m
        fib(m)
    else
        m = m % 60
        n = n % 60

        m = fib(m + 1) - 1
        n = fib(n + 2) - 1
        (n - m) % 10
    end
end

if __FILE__ == $0
  m, n = gets.split().map(&:to_i)
  puts "#{fib_partial_sum(m, n)}"
end

Answer 1

这是一个很好的问题解决方案，它通过了所有时间和内存限制。 这样，您永远不必计算大于 f(60) 的 fib num。它可以有效地处理非常大的输入。

def fib(n)
    a, b = 0, 1
    (n-1).times do
        a, b = b, (a + b) % 10
    end
    b
end

def fib_partial_sum(m, n)
    if n == m
        fib(m % 60)
    else
        m = m % 60
        n = n % 60

        m = fib(m + 1) - 1
        n = fib(n + 2) - 1

        (n - m) % 10
    end
end

if __FILE__ == $0
    m, n = gets.split().map(&:to_i)
    puts "#{fib_partial_sum(m, n)}"
end

（使用的最大时间：0.05/5.00，使用的最大内存：8699904/536870912。）

Answer 2

以下内容只需要一次传递零到最多 [n,m+60].min 之间的数字，其中 m..n 是感兴趣的范围，并且具有最小的内存要求。它利用了@nloveladyallen 的观察，即斐波那契数的最后一位数字的周期为 60。

代码

def fib_last(m,n)
  n -= 60*((n-m)/60)   
  fib_sum(m,n) % 10
end

def fib_sum(m,n)
  return nil if m < 0 || m > n
  return n if n < 2
  next_to_last, last = fib(m-1)
  (m..n).reduce(0) do |tot,_|
    current = next_to_last + last
    next_to_last = last
    last = current
    tot + current
  end
end

def fib(m)
  next_to_last, last = -1, 1
  0.upto(m).each do |n|
    current = next_to_last + last
    next_to_last, last = last, current
  end
  [next_to_last, last]
end

示例

m, n = 6, 12
(n+1).times { |i| puts "#{i}: #{fib(i)}" }
0:  [0,    0]
1:  [0,    1]
2:  [1,    1]
3:  [1,    2]
4:  [2,    3]
5:  [3,    5]
6:  [5,    8]
7:  [8,   13]
8:  [13,  21]
9:  [21,  34]
10: [34,  55]
11: [55,  89]
12: [89, 144]

fib_last(6,12) #=> 4 (fib_sum(6,12) #=> 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 = 364)
fib_last(1,2)  #=> 2 (fib_sum(1,2)  #=> 1 + 1 = 2)
fib_last(1,3)  #=> 4 (fib_sum(1,3)  #=> 1 + 1 + 2 = 4) 
fib_last(1,4)  #=> 7 (fib_sum(1,4)  #=> 1 + 1 + 2 + 3 = 7)
fib_last(2,3)  #=> 3 (fib_sum(2,3)  #=> 1 + 2 = 3)