斐波那契数之和答案

【问题标题】：Sum of Fibonacci numbers斐波那契数之和
【发布时间】：2011-02-16 03:05:01
【问题描述】：

我对 Haskell 比较陌生。问题是找到不大于 400 万的所有偶数斐波那契数的总和。我不能使用列表。

如果我理解正确，下面的解决方案是错误的，因为它使用了列表：

my_sum = sum $ filter (odd) $ takeWhile (< 4000000) fibs

其中 fibs 是所有斐波那契数列。

不知何故，我发现在 Haskell 中不考虑列表是很困难的。谁能指导我解决这个问题？

问候

编辑：

如果有人感兴趣，我已经解决了这个问题。这是代码（看起来很笨拙，但仍然有效）：

findsum threshold = findsum' 0 1 0 threshold


findsum' n1 n2 accu t 
| n2 > t    = accu
| odd n2    = findsum' n2 n3 accu t 
| otherwise = findsum' n2 n3 accu2 t
where
    n3 = n2 + n1
    accu2 = accu + n2

【问题讨论】：

这是作业吗？你已经尝试过什么？
不是作业 - 欧拉计划。前几天我刚做了这个确切的问题。
为什么不能使用列表？
@mjboggess：我写了一个基于列表的解决方案。我正在寻找有关如何在没有列表的情况下执行此操作的提示。
@Rafal - 但为什么呢？在 Haskell 中，有一个合适的 fibs 定义——即使有一个列表，它也是惰性的。您最好让所有出色的机器完成工作并直接表达解决方案。如果 fibs 定义正确，内存中永远不会存在实际的列表！

标签： haskell fibonacci

【解决方案1】：

您可能会发现在 excel 中构建它然后从那里找出代码更容易。在excel中很容易做到这一点。只需将 1 放在第一个单元格中，然后将 1 放在其下方。然后使下面的每个单元格都添加上面的两个。（即，单元格 a3 包含 =A1+A2）。使下一列仅包含偶数值“即 if(mod(a3,2)==0,a3,0)”。接下来，将您的运行总和放在第三列。基于此，您应该能够提出递归解决方案。

另一种方法是从问题开始。你只想要一个需要累加器的总数。

sumFib :: Integer -> Integer
sumFib threshold = sumFib' 1 1 0 threshold

sumFib' :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer -> Integer
sumFib' n1 n2 acc threshold

您可以在上面看到我的函数的签名。我构建了一个漂亮的前端，它需要一个阈值（4,000,000）来决定何时停止构建斐波那契数。然后我将这个加上前 2 个斐波那契数和一个累加器传递给执行递归的工作函数“sumFib”。瞧……答案是“4613732”，没有列表……

n1 是 n-1 斐波那契数，n2 是 n-2 斐波那契数。

希望对您有所帮助。

编辑：这是我的完整解决方案：

sumFib :: Integer -> Integer
sumFib threshold = sumFib' 1 1 0 threshold

sumFib' :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer -> Integer
sumFib' n1 n2 acc threshold
     | n1 > threshold = acc
     | otherwise = sumFib' (n2+n1) n1 newAcc threshold
            where newAcc = if n1 `mod` 2 == 0
                               then n1 + acc
                               else acc

【讨论】：

很高兴为您提供帮助！写 java 是一个有趣的休息:)

【解决方案2】：

您可以使用continuation-passing style 使用递归解决方案在没有列表的情况下执行此操作。

顺便说一句，遍历所有斐波那契数并过滤掉奇数是解决此问题的缓慢方法。

【讨论】：

感谢您的链接。我会检查的。

【解决方案3】：

再次，一个非示例说明计算机的用途：

不用电脑也能做到！

第一个观察：每隔三个斐波纳奇数是偶数，第一个偶数斐波纳奇数是 F_3=2

确实：奇+奇=偶；奇数+偶数=奇数； even+odd=odd，这已经是闭环了

第二次观察：F_3 + F_6 + F_9 + ... + F_{3k} = 1/2 (F_{3k+2} - 1)

通过归纳：F_3 = 2 = 1/2 (5 - 1) = 1/2 (F_5 - 1)

F_3 + F_6 + ... + F_{3k+3} = 1/2 (F_{3k+2} - 1) + F_{3k+3} = 1/2 (F_{3k+2} + 2F_{3k+3} -1) = 1/2 (F_{3k+4} + F_{3k+3} -1) = 1/2 (F_{3k+5} -1)

第三个观察结果：总和将有 1333333 个和数，最后一个是第 3999999 个斐波纳奇数。

第四次观察：F_n = 1/sqrt(5) * (phi^n - (1-phi)^n)

Proof by Wikipedia

现在，我们可以将这些部分放在一起： F_3 + F_6 + ... + F_3999999 = 1/2 (F_4000001 - 1) = 1/2 1/sqrt(5) (phi^4000001 - (1-phi)^4000001) - 1/2 = int(1/ 2 1/sqrt(5) phi^4000001)

这里的 int 是整数部分。最后一步有效，因为 -1

【讨论】：