为什么这两种寻找第 n 个斐波那契数的算法中的一种更有效？答案

【问题标题】：Why is one of these two algorithms for finding the n-th Fibonacci number more efficient?为什么这两种寻找第 n 个斐波那契数的算法中的一种更有效？
【发布时间】：2019-04-21 03:24:10
【问题描述】：

在计算第 64 个斐波那契数时，第一个算法需要几个小时，而第二个算法需要不到一秒。

为什么第二种算法的效率比第一种高很多？

它们看起来非常相似。

def fib_divide_recursion(n):
    if n <= 2:
        return n-1
    else:
        return fib_divide_recursion(n-1) + fib_divide_recursion(n-2)

def fib_linear_recursion(n, prev={}):
    if n <= 2:
        return n-1
    try:
        return prev[n]
    except KeyError:
        prev[n] = fib_linear_recursion(n - 1, prev) + 
            fib_linear_recursion(n - 2, prev)
        return prev[n]

【问题讨论】：

因为第一个做更多的工作。计算它执行的函数调用次数。
评估fib_divide_recursion(25)调用函数150049次，评估fib_linear_recursion(25)调用它47次，随着n的增长，差异会迅速恶化。
除此之外，因为您将递归用于最常见的迭代编程示例。
@Klaus 是的，但递归学习斐波那契也很有价值 - 事实上，它是最常见的递归介绍程序之一。
@Klaus 好吧，我同意你的观点，但不幸的是，很难抵消先例的浪潮。无论如何，学习斐波那契对于理解递归与迭代的优缺点很有用，即使它并不理想，仅仅是因为它已经非常成熟了。

标签： python algorithm fibonacci

【解决方案1】：

第二种实现是使用“记忆”来记住以前计算的斐波那契值。

假设您尝试计算fib(5)：您首先必须计算fib(4) 和fib(3)。 fib(4) 本身也需要你计算fib(3)。事实上，对于每个斐波那契数，您可以计算每个前面的斐波那契数一次并存储它们（这是记忆方法）。或者，在性能更差的情况下，您可以重新计算所需的每个斐波那契数，即使您之前已经计算过了。显然，如果没有记忆，您将需要做更多的工作，而对于高斐波那契数，这确实会产生影响，正如您所观察到的那样。

【讨论】：

谢谢，为什么我不能用prev=[]替换prev{}，即使我把KeyError也改成了IndexError
@longchaos 真的，这是一个不同的问题，如果你想正确回答，你应该单独发布。但简短的回答是列表不是字典：您不能索引到列表中尚不存在的部分并期望它会自动创建。你必须用你需要的元素数量来初始化它，这是不可扩展的。

【解决方案2】：

第一种算法的复杂度是O(2^n)。

第二个将结果缓存在prev 中，因此它不会对给定数字多次计算fib_linear_recursion。它的复杂度是线性的，O(n)。

更多详情请见this answer。

【讨论】：

【解决方案3】：

第一种算法仅使用递归，而第二种算法使用动态编程，即带有记忆的递归。

如果您为第一个算法绘制树，您会看到重复的节点。但是使用第二种算法，它存储已经计算的节点，因此程序不必一次又一次地计算

【讨论】：