小于数 k 的斐波那契数的数量。子 O(n)答案

【问题标题】：Number of Fibonacci numbers smaller than number k. Sub O(n)小于数 k 的斐波那契数的数量。子 O(n)
【发布时间】：2016-04-13 15:04:19
【问题描述】：

面试题：有多少斐波那契数小于给定数k？你能找到一个关于 k 的函数，得到小于 k 的斐波那契数吗？

示例：n = 6

答案：6 为 (0, 1, 1, 2, 3, 5)

很简单，编写一个循环或使用斐波那契的递归定义。但是，这听起来太容易了……有没有办法使用封闭式定义来做到这一点？ (https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#Closed-form_expression)

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这是一个接近形式的 Python 解决方案，它是 O(1)。它使用 Binet 的公式（来自您链接到的 Wikipedia 文章）：

>>> from math import sqrt,log
>>> def numFibs(n): return int(log(sqrt(5)*n)/log((1+sqrt(5))/2))

>>> numFibs(10)
6

1,1,2,3,5,8 的轨道

关键是比内公式中的第二项可以忽略不计，忽略它的结果很容易反转。

上面的公式计算小于或等于n的斐波那契数。每个新的斐波那契数都会跳 1。例如，numFibs(12) = 6 和 numFibs(13) = 7。 13 是第 7 个斐波那契数，因此如果您想要严格小于n 的斐波那契数的数量，您必须引入一个滞后。比如：

def smallerFibs(n):
    if n <= 1:
        return 0
    else:
        return min(numFibs(n-1),numFibs(n))

现在smallerFibs(13) 仍然是 6，但后来 smallerFibs(14) = 7. 这当然仍然是 O(1)。

【讨论】：

这是一个很好的解释！谢谢！
包含数字本身的第一个逻辑在 numFibs(144)、numFibs(143) 和 numFibs(144) 都给出 11 的情况下失败
我遵循了这个方法，它正在工作math.stackexchange.com/a/67714/369172
@DhananjayanSanthanakrishnan 很好的观察。问题似乎是我的公式在所有其他斐波那契数上都出错了，因为比内公式中的第二项在符号上交替出现。那篇数学文章中的“软糖因素”似乎是一种方式。另一种方法是检查numFibs(n) 是否为奇数。如果是这样，请检查numFibs(n+1)。如果该数字是偶数 - 则返回它，否则返回原始值。

【解决方案2】：

我认为至少可以很容易地看到这个数字的增长。由Binet / De-Moivre formula，

f_n = (φⁿ - ψⁿ) / 5

自从|ψ| ，然后

f_n ∼ φⁿ / 5。

由此可知，小于 x 的斐波那契数的数量会像 log_φ(5x) 一样增长。

【讨论】：