格雷码算法（32 位或更少）

Question

我最近遇到了格雷码，我一直在试图围绕用于将格雷码转换回二进制（32 位或更少）的有效算法陷入困境。

num = num ^ (num >> 16);
num = num ^ (num >> 8);
num = num ^ (num >> 4);
num = num ^ (num >> 2);
num = num ^ (num >> 1);

这就是我所说的代码。现在这是我的问题：

• 这与普通代码有什么区别（右移 1 和 XOR 直到 mask == 0）？
• 为什么专门使用 16、8、4、2、1 而不是任何其他小于 32 位的数字？

• 如果我们反过来做有什么区别：

  num = num ^ (num >> 1);
  num = num ^ (num >> 2);
  num = num ^ (num >> 4);
  num = num ^ (num >> 8);
  num = num ^ (num >> 16);
  

  我已经试过了，它似乎产生了相同的结果。

Answer 1

例如，以位为单位（我们取 8）

h g^h f^g e^f d^e c^d b^c a^b

如果我们申请x ^= x >> 1 会发生什么？我们得到了这个

h g f^h e^g d^f c^e b^d a^c

这看起来就像我们刚开始的那样，好像它是由 x ^ (x >> 2) 而不是 x ^ (x >> 1) 制作的，所以同样的想法是只用 2 的移位来反转：

h g f e d^h c^g b^f a^e

看起来不错，现在很明显为什么x ^= x >> 4 会完全恢复正常。对于更多位，相同的模式只会持续一段时间。

另一种看待这个问题的方法是暂时反转位，将“灰色”变为x ⊗ 3，⊗ 是 GF(2^k) 中的乘法，乘以奇数numbers 在 GF(2^k) 中是可逆的，并且 3 的乘法逆是“所有位设置”，您可以找到如下：

• 以y=3 和一个临时逆向i=1 开头
• 将y（不是 lsb）中的第一位与 3 进行异或运算，将相应位设置为逆向
• 循环直到y=1

所以第一步是y=3, i=1、y=5, i=3、y=9, i=7 等，直到您在i 中设置所有位，让我们称之为最终i inv。

然后我们有(x ⊗ 3) ⊗ inv = x ⊗ (3 ⊗ inv) = x ⊗ 1 = x

乘以“所有位设置”意味着每个位最终都是其自身和所有低位的异或，您可以这样做

x ^= x << 1
x ^= x << 2
x ^= x << 4
...

首先将所有位与它们旁边的位进行异或，然后与接下来的两个位进行异或（它们已经被异或在一起，因此只需要一步），然后是接下来的四个位，等等。

再次反转位以获得您开始的内容。

但现在有趣的东西。

为什么顺序不重要？

（是的，事实上你不仅可以颠倒这些步骤，还可以任意打乱它们）

好的，反转位并返回到 GF(2^k)。写每一行的另一种方法是

x = x ⊗ 3
x = x ⊗ 5
x = x ⊗ 17
...

最终结果当然是((x ⊗ 3) ⊗ 5) ⊗ 17 = x ⊗ (3 ⊗ 5 ⊗ 17) = x ⊗ 127

GF(2^k) 中的乘法非常好并且可交换，所以它可以按任何顺序完成。

其他数字呢

当然，只要他们的产品是inv。但是所有其他选择都会导致出现烦人的/许多被乘数。例如，也许我们希望 9 作为一个因数，那么剩下的就是 199，它可以分解为 9 ⊗ 63，依此类推，但这会持续一段时间，直到你可能有 3、5、9、9、17、 65，这太糟糕了（请注意，如果有 8 位，无论如何 9 ⊗ 9 ⊗ 65 = 1 所以是的，只需将其踢出并返回原始的 3、5、17）。不过有可能。