矩阵乘法给出两个不同的答案答案

【问题标题】：Matrix-multiply giving two different answers矩阵乘法给出两个不同的答案
【发布时间】：2013-12-09 15:59:55
【问题描述】：

下面是一些简单的代码，显示了我所看到的：

A = randn(1,5e6)+1i*randn(1,5e6);
B = randn(1,5e6)+1i*randn(1,5e6);

sum(A.*conj(B)) - A*B'
sum(A.*conj(B)) - mtimes(A,B')
A*B' - mtimes(A,B')

现在，底部显示的三种方法应该做同样的事情，所以答案应该是零，对吧？错误的！差异很小，尽管还不够小，我认为它们可以忽略不计。此外，误差随着A和B长度的增加而增加。

有谁知道这些方法之间的实际区别是什么？我知道代码中可能写入了快捷方式，但如果可能的话，我想对其进行量化。 Matlab 会在任何地方发布差异吗？我环顾四周，但没有找到任何东西。

【问题讨论】：

在 Octave 中它们都是零（即使是 format long g）...
@am304 既然你有八度：你能试试A*B' - fliplr(A)*fliplr(B)'吗？
ans = -1.31512933876365e-009 - 1.06410880107433e-010i 所以不是零...
@am304 谢谢。这支持了我的猜测，即 OP 中描述的错误是由 Matlab 内部选择不同的操作顺序引起的
使用有限精度时最终会出现错误。请记住，您发现的两种解决方案可能都是“错误的”。如果您需要更精确，可以尝试使用符号工具箱。

标签： matlab matrix-multiplication

【解决方案1】：

这可能与执行操作的顺序有关。例如，

sum(A.*conj(B)) - fliplr(A)*fliplr(B)'

给出的结果不同于

sum(A.*conj(B)) - A*B'

或者，更引人注目的是，

A*B' - fliplr(A)*fliplr(B)'

给出非零结果，与您的测试顺序相同。

所以我敢打赌，根据方法（sum 或 *），Matlab 在内部以不同的顺序执行操作，这很可能解释了您观察到的不同舍入误差。

【讨论】：

【解决方案2】：

给定每个数字的大小，对这个数字进行简单运算的舍入误差约为 10^-14

你有 5*10^6 个数字，因此如果你真的很不幸，舍入误差可能会变成 5*10^-8。

您观察到的错误大小为 10^10，完全在预期范围内。

请注意，差异不是由复杂转置引起的，而是由总和与矩阵乘积的乘积引起的。

A = randn(1,5e6)+1i*randn(1,5e6);
B = randn(1,5e6)+1i*randn(1,5e6);

B1 = conj(B); 
B2 = B';

isequal(B1(:),B2(:)) % This returns true

A*transpose(conj(B)) - A*B' % Hence this returns zero

sum(A.*transpose(B')) - A*B' % But this returns something like 1e-10

非复杂的A 和B 也会出现类似的效果：

N=1e6;
A = 1:N; 
B=1:N;

(N * (N + 1) * (2*N + 1))/6 % This will give exactly the right answer
A*B' 
fliplr(A)*fliplr(B)'

请注意，两个最低的答案彼此之间仅相差几百，而实际上它们与正确答案的差距超过 2000。如果这是一个问题，请考虑使用符号工具箱。这允许您以任意精度进行计算。

【讨论】：