生成 n 个二进制向量，其中每个向量与每个其他向量的汉明距离为 d

Question

我正在尝试生成任意长度的n 二进制向量l，其中每个向量i 的汉明距离为d（其中d 是偶数）与其他 向量j。我不确定n、l 和d 之间是否存在任何理论上的关系，但我想知道是否有针对此任务的任何实现。我当前的实现如下所示。有时我成功，有时代码挂起，这表明a）不可能找到n给定l和d这样的向量，或者b）搜索需要很长时间，特别是对于@的大值987654333@。

我的问题是：

• 此任务是否有任何有效的实现方式？

• n、l、d之间存在什么样的理论关系？

  import numpy as np
  
  def get_bin(n):
      return ''.join([str(np.random.randint(0, 2)) for _ in range(n)])
  
  def hamming(s1, s2):
      return sum(c1 != c2 for c1, c2 in zip(s1, s2))
  
  def generate_codebook(n, num_codes, d):    
      codebooks = []
      seen = []
  
      while len(codebooks) < num_codes:
          code = get_bin(n)
          if code in seen:
              continue
          else:
              if len(codebooks) == 0:
                  codebooks.append(code)
                  print len(codebooks), code
              else:
                  if all(map(lambda x: int(hamming(code, x)) == d, codebooks)):
                      codebooks.append(code)
                      print len(codebooks), code
              seen.append(code)
  
      codebook_vectorized = map(lambda x: map(lambda b: int(b), x), codebooks)
      return np.array(codebook_vectorized)
  

例子：

codebook = generate_codebook(4,3,2)
codebook

1 1111
2 1001
3 0101

Answer 1

让我们构建一个图G，其中每个L-bit 二进制向量v 都是一个顶点。并且只有当vi 和vj 之间的汉明距离等于d 时，才存在边(vi, vj)。现在我们需要找到一个大小为n 的clique 就是这张图。

Clique 是无向图的顶点子集，使得每个 团中两个不同的顶点是相邻的。

在任意图中找到给定大小的团的任务是 NP 完全的。您可以在wikipedia article 中阅读有关此问题和一些算法的信息。

这个问题有很多special cases。例如，对于perfect graphs，有一个polynomial algorithm。不知道是否有可能证明我们的图表是这些特殊情况之一。

Answer 2

不是真正的解决方案，而是更多关于l、d和n之间的关系以及生成向量的过程的部分讨论。在任何情况下，您都可以考虑将问题（或更正式的类似问题）发布到Mathematics Stack Exchange。我在写的时候一直在推理，但我希望我没有弄错。

假设我们有l = 6。由于汉明距离仅取决于位置差异，因此您可以决定首先将第一个任意向量放入您的集合中（如果有解决方案，有些可能不包含它，但至少应该包含它）。所以让我们从一个初始的v1 = 000000 开始。现在，如果d = 1 显然n 只能是1 或2（111111）。如果d = 1，你会发现n也只能是1或者2；例如，您可以添加000001，但任何其他可能的向量与您拥有的向量之间的距离至少为 2。

假设d = 4。您需要更改 4 个位置并保留另外 2 个位置，因此您有 6 个元素集合中的 4-combinations，即 15 个选项，001111、010111 等 - 您现在可以看到二项式系数 C(n, d) 加 1 是 n 的上限。让我们选择v2 = 001111，并说保留的位置是T = [1, 2]，更改的位置是S = [3, 4, 5, 6]。现在继续，我们可以考虑对v2 进行更改；但是，为了保持正确的距离，我们必须遵循以下规则：

• 我们必须对 v2 进行 4 处更改。
• 如果我们更改S 中的位置，我们必须再次更改T 中的位置（反之亦然）。否则，与v1 的距离将无法保持。

从逻辑上讲，如果d 是奇数，您现在就可以完成（只能形成两个元素的集合），但幸运的是您已经说过您的距离数是偶数。所以我们将我们的数字除以 2，即 2，需要从 S、C(4, 2) = 6 中选择 2 个元素，从 T、C(2, 2) = 1 中选择 2 个元素，给我们 6 * 1 = 6 选项 - 你现在应该注意如果d 是偶数，则C(d, d/2) * C(l - d, d/2) + 2 是n 的新下限。让我们选择v3 = 111100。 v3 现在有四种类型的位置：相对于v1 和v2、P1 = [1, 2]、相对于v1 没有变化的位置或v2、P2 = []（在这种情况下没有）、相对于v1 但相对于v2 没有变化的位置、P3 = [3, 4] 和相对于v2 但没有变化的位置关于v1，P4 = [5, 6]。同样的交易，我们需要 4 处更改，但现在我们对 P1 位置所做的每一次更改都必须意味着 P2 位置的更改，并且我们对 P3 位置所做的每一次更改都必须意味着 @987654373 位置的更改@ 位置。唯一剩下的选项是v4 = 110011，就是这样，最大的n 将是4。

因此，从组合的角度考虑问题，每次更改后，您将拥有呈指数级增长的“职位类型”（第一次更改后为 2，第二次更改后为 4，8、16... ) 根据它们在先前添加的每个向量中是否相等来定义，并且可以通过“对称”或“互补”关系将它们排列成对。在每一步，你都可以（我认为，这是我不太确定的推理的一部分）贪婪地从这些对中选择一组变化，并计算下一步的“职位类型”的大小。如果这一切都正确，您应该能够基于此编写算法来生成和/或计算某些特定 l 和 d 和 n（如果给定）的可能向量集。