连接无限语言和有限语言

Question

为什么如果语言不是空集，则无限语言和有限语言的连接总是有限的？我认为将无限语言与空集连接起来就是无限语言。

Answer 1

这个说法是错误的。尝试连接 Σ* 和 Σ。这会返回 Σ⁺，它是无限的。

我认为你的意思是

无限语言 I 和有限语言 F 的串联是无限 iff F ≠ ∅

这个说法是正确的。如果 F = ∅ 那么 IF 是空集，因为任何语言和空语言的连接都是空语言。具体来说，IF = { wx | w 在 I 中，x 在 F } 中，所以如果 F 为空，则在 F 中没有满足条件 x 的 x。

另一方面，如果 x ≠ ∅，我们可以证明 IF 是无限的。考虑任何字符串 w ∈ I 的长度比 F 中的任何字符串都长。那么集合 wF = { wx | F } 中的 x 是无限的，因为 wF 中至少有一个字符串位于 |w| 的任意两个倍数之间。由于 wF ⊆ IF，这意味着 IF 是无限的。

希望这会有所帮助！