在 u 个用户之间分配 c 个类别的 n 个表单的最佳方法是什么？ [关闭]

Question

我已经在cstheory too提出了这个问题

我有一个表单分发问题。 c 个类别中有 n 个表格（每个表格属于 1 个类别）。并且有 u 个用户，每个用户可以接收来自至少一个类别（但可能不止一个类别）的表单。

目标是在用户之间分发表单，以便每个用户收到相同数量的表单。我更喜欢平等地使用类别。

例如：

如果类别是：

C1 : 20 个表格

C2 : 3 种形式

C3 : 8 种形式

C4 : 2 种形式

而用户是：

U1 可以访问 C1 和 C2

U2 可以访问 C2

U3 可以访问 C3

U4 可以访问 C1 和 C3

U5 可以访问 C2 和 C4

答案应该是：

U1：1 x C1 + 1 x C2 | 2 x C1（首选）

U2：2 x C2

U3：2 x C3

U4：1 x C1 + 1 x C3 | 2 x C1（首选）| 2 x C3

U5：2 x C4

还有 23 个表格。

您对如何编写这样的算法有什么建议吗？

可能还有第二个问题，其中一些类别有一个应该贡献的选项。如果设置，该类别中的所有剩余表单将在有权访问该类别的用户之间分配。例如，如果 C1 启用了此选项，则答案应该是：

U1：1 x C1 + 1 x C2 + 9 C1

U2：2 x C2

U3：2 x C3

U4：2 x C3（以最小化 C3 类别中的剩余表格）+ 10 C1

U5：2 x C4

剩下的形式是0 in C1, 0 in C2, 4 in C3 and 0 in C4.

我认为它有点Bin Packing 算法，但我不确定，我不知道如何解决它！ :(

注意：以上答案不是最佳答案，这些只是我的想法！

Answer 1

在我看来，如果您为每个用户固定 N 个表单并提出以下问题：我们可以为每个用户提供 N 个表单吗？然后你可以把它变成一个http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_flow_problem 问题，每个用户可以从他们的类别子集中接收流/表单，并且每个用户都有容量 N 的流出。此外，如果你能解决 N 的这个问题，你就可以解决所有较小的 N 值。

因此，您可以通过运行 max-flow lg（最大 N）次来解决第一个问题，使用二进制截断来找出 N 的最佳可能值是多少。既然可以通过最大流量求解，也可以通过线性规划求解。这样做，也许只是为了 N 的临界值，可能会让你偏爱一些分配而不是其他分配，或者也许看看哪里有相邻的可行解决方案，然后看看你是否可以混合它们以平等地使用类别。

示例 - 创建一个源，并将其链接到每个类别 Ci，链接的容量是该类别中可用表单的数量，因此 C1 从容量为 20 的源获取链接。创建链接他们的来源在用户和类别之间的容量，用户可以访问类别，因此 U1 获得到 C1 和 C2 的链接，但 U2 只获得到 C2 的链接。现在创建从每个用户到单个接收器的容量为 N 的链接。如果给用户分配表单给每个用户 N 个表单，那么这将产生填充从用户到接收器的每个链接的最大流量，您可以查看用户和类别之间的流量以了解如何分配表单。您可以从 N = 3 开始，因为用户 2 总共只能访问 3 个表单，因此答案不能大于此。那是行不通的，因为您已经说过正确的答案有 N = 2，因此最大流量不会填满所有 N=3 容量链接。因此，您的程序在 3/2 = 1 处再次尝试，并找到了一个解决方案 - 您已经提供了 N = 2 的解决方案，因此 N = 1 必须有一个解决方案。现在程序知道 N = 1 有一个解决方案，但是N = 3 不是一个，所以它在 N = (1 + 3) / 2 = 2 的中间尝试一个，并找到你的解决方案。 N = 2 有一个，但 N = 3 没有，因此 N = 2 解决方案是您能做的最好的解决方案。