使用 MATLAB ode45 求解瞬态薛定谔方程答案

【问题标题】：Solving time-dependent Schrodinger equation using MATLAB ode45使用 MATLAB ode45 求解瞬态薛定谔方程
【发布时间】：2016-06-23 03:02:04
【问题描述】：

时间相关哈密顿量的薛定谔方程为：

我尝试为ode45 中的时间相关哈密顿量实现薛定谔方程的求解器。但是，因为哈密顿量 $H(t)$ 取决于时间。我不知道如何在ode45 中进行插值。能给我一些提示吗？

psi0 = [0 1];
H = [1 0;0 1]*cos(t); %this is wrong, I do not know how to implement this and pass it to ode45
hbar = 1;
t    = [0:1:100];
[T, psi] = ode45(dpsi, t, psi);
function dpsi = f(t, psi, H, psi0)
dpsi = (1/i)*H*psi;

我也尝试想出一个矩阵插值的解决方案 MATLAB: Interpolation that involve a matrix.

【问题讨论】：

标签： matlab matrix

【解决方案1】：

H 在您的情况下只是一个单位矩阵，因此我们可以将其与psi 向量相乘以返回psi 向量本身。然后，我们将i*hbar 带到等式的右侧，这样最终的等式就是ode45 接受的形式。最后我们用下面的代码求解psi：

function schrodinger_equation

  psi0 = [0;1];
  hbar = 1;
  t = [0 100];
  [T,psi] = ode45(@(t,psi)dpsi(t,psi,hbar),t,psi0);

  for i = 1:length(psi0)
    figure
    plot(T,real(psi(:,i)),T,imag(psi(:,i)))
    xlabel('t')
    ylabel('Re(\psi) or Im(\psi)')
    title(['\psi_0 = ' num2str(psi0(i))])
    legend('Re(\psi)','Im(\psi)','Location','best')
  end

end

function rhs = dpsi(t,psi,hbar)
  rhs = 1/(1i*hbar)*cos(t).*ones(2,1);
end

请注意，我已经分别绘制了psi 的两个分量，并且对于每个这样的图，我还分别绘制了实部和虚部。以下是psi0 的两个不同值的图：

【讨论】：

这是否意味着您不必在 ode45 中进行插值？ ode45 内部的 $cos(t)$ 项是否不同？
cos(t) 术语肯定是在 dpsi 函数中看到的。
谢谢。如果我的时间依赖性不是那么简单，以至于H 不能像单位矩阵一样表示怎么办？我该怎么办？例如H = [t 1;3t t^2]?
我能想到的最直接的方法是将H与psi向量相乘，并将结果的分量分配给dpsi函数中的rhs。
这可能行得通。那么我是否只需将每个组件传递到 ode45 中，然后 ode45 无需进行插值就可以理解时间依赖性？