高斯的傅里叶变换不是高斯，但那是错误的！ - Python

Question

我正在尝试利用 Numpy 的 fft 函数，但是当我给该函数一个简单的高斯函数时，该高斯函数的 fft 不是高斯函数，它接近但减半，因此每一半都位于 x 轴的任一端.

我正在计算的高斯函数是 y = exp(-x^2)

这是我的代码：

from cmath import *
from numpy import multiply
from numpy.fft import fft
from pylab import plot, show

""" Basically the standard range() function but with float support """
def frange (min_value, max_value, step):
    value = float(min_value)
    array = []
    while value < float(max_value):
        array.append(value)
        value += float(step)
    return array


N = 256.0 # number of steps
y = []
x = frange(-5, 5, 10/N)

# fill array y with values of the Gaussian function   
cache = -multiply(x, x)
for i in cache: y.append(exp(i))

Y = fft(y)

# plot the fft of the gausian function
plot(x, abs(Y))
show()

结果不太对，因为高斯函数的FFT应该是高斯函数本身...

Answer 1

np.fft.fft 以所谓的“标准顺序”返回结果：(from the docs)

如果A = fft(a, n)，那么A[0] 包含零频率项（ 信号的平均值），它总是 纯粹真实的真实输入。然后 A[1:n/2] 包含 正频率项，和 A[n/2+1:] 包含 负频率项，按顺序 负频率递减。

np.fft.fftshift 函数将结果重新排列成大多数人期望的顺序（这对绘图很有好处）：

套路np.fft.fftshift(A) 变换变换及其 频率把零频率 中间的组件...

所以使用np.fft.fftshift：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

N = 128
x = np.arange(-5, 5, 10./(2 * N))
y = np.exp(-x * x)
y_fft = np.fft.fftshift(np.abs(np.fft.fft(y))) / np.sqrt(len(y))
plt.plot(x,y)
plt.plot(x,y_fft)
plt.show()

Answer 2

你的结果甚至不接近高斯，甚至没有分成两半。

要获得您期望的结果，您必须将中心定位在索引 0 处的高斯分布，结果也将以这种方式定位。试试下面的代码：

from pylab import *
N = 128
x = r_[arange(0, 5, 5./N), arange(-5, 0, 5./N)]
y = exp(-x*x)
y_fft = fft(y) / sqrt(2 * N)
plot(r_[y[N:], y[:N]])
plot(r_[y_fft[N:], y_fft[:N]])
show()

绘图命令将数组分成两半并交换它们以获得更好的图片。

Answer 3

它以中心（即平均值）在系数索引零处显示。这就是为什么看起来右半边在左边，反之亦然。

编辑：探索以下代码：

import scipy
import scipy.signal as sig
import pylab
x = sig.gaussian(2048, 10)
X = scipy.absolute(scipy.fft(x))
pylab.plot(x)
pylab.plot(X)
pylab.plot(X[range(1024, 2048)+range(0, 1024)])

最后一行将从向量的中心开始绘制X，然后环绕到开头。

Answer 4

傅立叶变换隐含无限重复，因为它是一个信号的变换隐含无限重复。请注意，当您传递 y 进行转换时，不会提供 x 值，因此实际上转换的高斯是以 0 到 256 之间的中值为中心的高斯，即 128。

还要记住 f(x) 的平移是 F(x) 的相变。

Answer 5

根据 Sven Marnach 的回答，一个更简单的版本是这样的：

from pylab import *
N = 128

x = ifftshift(arange(-5,5,5./N))

y = exp(-x*x)
y_fft = fft(y) / sqrt(2 * N)

plot(fftshift(y))
plot(fftshift(y_fft))

show()

这会产生与上述相同的图。

关键（这对我来说似乎很奇怪）是 NumPy 假定的数据排序 --- 在 频率和 时域中 --- 是具有“零”值第一。这不是我对其他 FFT 实现的期望，例如 C 中的 FFTW3 库。

这在上面的 unutbu 和 Steve Tjoa 的答案中略有捏造，因为他们在绘制 FFT 之前取其绝对值，从而消除了由于未及时使用“标准顺序”而导致的相位问题。