从二进制到十进制有什么限制吗（就像从十进制到二进制一样）？

Question

众所周知，not all decimal numbers can be represented in binary（位数有限）。

我想知道，所有（有限）二进制数都可以用（有限个）十进制数字表示吗？我怀疑是这样，因为二进制中的所有“原语”（“0.5”、“0.125”等）都可以用有限个十进制数字表示。

所以，我的问题如下：“兼容的基础更改”的特征是什么？即，对于“Base 2 → Base 10”适用但对于“Base 10 → Base 2”不适用的数学性质是什么？

（正式地说：N 和 M 必须具有哪些属性，才能确保所有有限 Base-N 数都有对应的有限 Base-M 数？）

Answer 1

如果n是二进制分数，那么n = a / 2^{k sup> 用于整数 a 和 k。}

这意味着 n = (a · 5^k) / (2^k · 5^k) = (a · 5^k) / 10^k

所以每个二进制分数都是十进制分数。

在一般情况下，以N为底的每个分数也是以M为底的分数当且仅当N除 M^k 对于一些 k （或者，等效地，如果 N 的每个素数也是M 的质因数）。一个类似于我上面给出的 2 和 10 的论点处理“如果”方向。对于“仅当”方向，这里有一个草图证明供您填写：假设 1 / N = a / M^k，然后 M^k = a · N，因此 N 除以 M^k。

所以二进制可以无损失地转换为十进制，因为 2 是 10 的因数，但十进制不能无损失地转换为二进制，因为 5 是 10 的因数，但不是 2 的因数。