为什么 IEEE754 单精度浮点数只有 7 位精度？答案

【问题标题】：Why IEEE754 single-precision float has only 7 digit precision?为什么 IEEE754 单精度浮点数只有 7 位精度？
【发布时间】：2013-10-02 05:16:07
【问题描述】：

为什么单精度浮点数有 7 位精度（或双精度 15-16 位）？

谁能解释一下我们是如何根据分配给 float(Sign(32) Exponent(30-23), Fraction (22-0)) 的 32 位得出的？

【问题讨论】：

标签： types floating-point precision ieee-754 single-precision

【解决方案1】：

有效数字的 23 个小数位 (22-0) 出现在内存格式中，但总精度实际上是 24 位，因为我们假设有一个前导 1。这相当于 log10(2^24) ≈ 7.225 十进制数字。

双精度浮点数有 52 位小数，加上前导 1 是 53。因此双精度可以容纳 log10(2^53) ≈ 15.955 十进制数字，而不是 16。

注意：前导 1 不是符号位。它实际上是 (-1)^sign * 1.ffffffff * 2^(eeee-constant) 但我们不需要将前导 1 存储在分数中。符号位仍然必须存储

有些数字不能表示为 2 的幂和，例如 1/9：

>>>> double d = 0.111111111111111;
>>>> System.out.println(d + "\n" + d*10);
0.111111111111111
1.1111111111111098

如果财务程序在没有自我纠正的情况下一遍又一遍地进行此计算，最终会出现差异。

>>>> double d = 0.111111111111111;
>>>> double sum = 0;
>>>> for(int i=0; i<1000000000; i++) {sum+=d;}
>>>> System.out.println(sum);
111111108.91914201

总计 10 亿次后，我们损失了超过 2 美元。

【讨论】：

前导 1 不是符号位。它实际上是(-1)^sign * 1.ffffffff * 2^(eeee-constant)，但我们不需要将前导 1 存储在分数中。符号位仍然必须存储
我在一些地方看到他们提到了 float (15 - 16 ) 的精度。曾经 15.955 会是 16 吗？
@jb_2519 如 Ron 所示，双精度浮点有 15.955 个 十进制 位精度。这意味着您可以很好地依赖前 15 个 decimal 数字是准确的，任何后续数字最多只能部分表示。就我个人而言，我不会依赖第 14 位（或单精度中的第 6 位）十进制数字的准确性。
@RonE 为什么我们采用以 10 为底的对数来计算编号。十进制数字？你能解释一下这个概念吗？
@PankajMahato 这就是你计算它的方式。例如，如果我们想表示以 10 为底的数字 2^24，它是 16777216。由于 log10(2^24) = 7.225，我们可以看到这应该是一个前导数字，后跟 7。反过来，如果我们想看看有 8 个十进制数字的最小二进制数是多少，我们计算如下：log2(10^8)= 26.58。因此，我们需要一个 27 位二进制数来获得具有前导数字后跟 8 位（总共 9 位）的十进制数。请记住，10^8 是一个 1 后跟 8 个零，总共 9 个数字。

【解决方案2】：

32 float 有 23 位，所以最小单位是

2^(-23) = 0.00000011920928955078125

其他数字只大于0.00000011920928955078125。小于0.00000011920928955078125也不是不可能。其他数字是0.00000011920928955078125组成

0.00000011920928955078125 * n

所以我们可以很容易地表示0.00000x[1-9]。而float32当然可以有6位精度。不要考虑四舍五入，我们可以计算7位数字如下：

0.00000011920928955078125 * 1 = 0.0000001
0.00000011920928955078125 * 2 = 0.0000002
0.00000011920928955078125 * 3 = 0.0000003
0.00000011920928955078125 * 4 = 0.0000004
0.00000011920928955078125 * 5 = 0.0000005
0.00000011920928955078125 * 6 = 0.0000007
0.00000011920928955078125 * 7 = 0.0000008
0.00000011920928955078125 * 8 = 0.0000009
0.00000011920928955078125 * 9 = 0.000001

它不能表示0.0000006。这是float32具有6~7位精度的结果，我们可以在互联网上到处找到。

【讨论】：