可以根据变量的特定总和的结果计算变量值的算法

Question

这可能是一个重复的问题，但我无法在堆栈溢出时找到它。

取一些变量，它们都代表某事的机会。这意味着所有变量的值都在零和一之间（包括两者）。这些值是未知的。但是，我有一些方程式，其中部分或全部这些变量的结果是已知的。

例如，取变量a、b、c、x 和y。它们的值都是介于 0 和 1 之间的未知数（包括两者）。我有以下方程式：

1: a + b + c = 1
2: a + b + x = 2
3: b + c + y = 2
4: a + x <= 1    ->    0 <= a + x <= 1
5: c + y <= 1    ->    0 <= c + y <= 1

解决这个问题得到以下结果：

2: a + x + b = 2
   (something between 0 and 1) + b = 2
   b = 2 - (something between 0 and 1)
   1 <= b <= 2
   b = 1 (since 0 <= b <= 1 applies too)

1: a + b + c = 1
   a + 1 + c = 1
   a + c = 0
   a = -c
   a = 0  (since 0 <= a <= 1 and 0 <= c <= 1 apply)
   c = 0

2: a + b + x = 2   |   3: b + c + y = 2
   0 + 1 + x = 2   |      1 + 0 + y = 2
   x = 1           |      y = 1

-> a = 0, b = 1, c = 0, x = 1 and y = 1

我在纸上解决了这个问题，我的实际目的是通过为每个未显示的单元格分别分配一个变量x a b c y来证明以下扫雷情况。由于x、y 和b 是一个，它们可以被标记：

我的一般目的是使用这种技术解决扫雷板问题，但它可以用于其他软件。但是，如果我想让计算机使用这种技术来解决扫雷板问题，那么计算机必须使用一种算法来解决具有任意数量的变量和任意数量的方程的这种情况。有没有一个通用的算法可以做到这一点？如果有，我应该如何实现该算法？

让事情变得显而易见

• 方程是一个变量或一些变量的总和，具有有限或恒定的结果，始终为正。
• 变量是介于 0 和 1（包括两者）之间的未知值。
• 该算法采用具有相应变量名称的变量数量，以及定义一些变量的方程。
• 算法尝试计算尽可能多的值。无法确定的值仍未确定。

Answer 1

一般来说，您有一个 N 维向量空间，其中 N 个自变量可以变化。您的每个约束都定义了向量空间的一个区域，所有这些区域的交集就是您希望确定的区域。实际上，您正在寻找该区域的最简单（最不复杂）的描述，因为该区域已经由约束集合描述。存在三种可能性：第一，该地区没有解决方案；其次，该区域的解决方案数量有限；第三，该区域有无限多的解决方案。

您的第一步可能是将方程（如果有）视为方程组，并使用求解方程组的算法来尽可能仅从方程中求解。如果不出意外，消除一些变量将有助于下一步。

1: a + b + c = 1
2: a + b + x = 2
3: b + c + y = 2

1: a = 1 - b - c
2: 1 - b - c + b + x = 2
3: b + c + y = 2

1: a = 1 - b - c
2: c = x - 1
3: b + x - 1 + y = 2

1: a = 1 - b - c
2: c = x - 1
3: b = 3 - x - y

1: a = y - 1
2: c = x - 1
3: b = 3 - x - y

这是我们所能做到的。接下来，我们代入完整的不等式系统：

A: 0 <= a <= 1
B: 0 <= b <= 1
C: 0 <= c <= 1
D: 0 <= x <= 1
E: 0 <= y <= 1
F: 0 <= a + x <= 1
G: 0 <= c + y <= 1

A: 0 <= y - 1 <= 1
B: 0 <= 3 - x - y <= 1
C: 0 <= x - 1 <= 1
D: 0 <= x <= 1
E: 0 <= y <= 1
F: 0 <= y - 1 + x <= 1
G: 0 <= x - 1 + y <= 1

A: 1 <= y <= 2
B: 3 >= x + y >= 2
C: 1 <= x <= 2
D: 0 <= x <= 1
E: 0 <= y <= 1
F: 1 <= y + x <= 2
G: 1 <= x + y <= 2

此时，您需要单独查找每个变量的约束（如果有）并找到这些约束的交集。

A: 1 <= y <= 2 \
                > taken together, the only solution is y = 1
E: 0 <= y <= 1 /  this is the intersection of intervals [0,1] and [1,2]

C: 1 <= x <= 2 \
                > taken together, the only solution is x = 1
D: 0 <= x <= 1 /  this is the intersection of intervals [0,1] and [1,2]

B: 3 >= x + y >= 2 \  taken together, this means x + y = 2
F: 1 <= y + x <= 2  > this is the intersection of [1,2] and [2,3]
G: 1 <= x + y <= 2 /  note that G turns out to be redundant after subbing

解 x = 1, y = 1 与我们的不等式系统是一致的。这是唯一这样的解决方案。我们可以在我们的方程组中进行反向代入以获得其他变量的值：

1: a = y - 1
     = 1 - 1
     = 0
2: c = x - 1
     = 1 - 1
     = 0
3: b = 3 - x - y
     = 3 - 1 - 1
     = 1

所以解决方案 a = 0, b = 1, c = 0, x = 1, y = 1 有效并且是唯一的解决方案。几乎所有这些步骤都应该是您可以自动化的事情。