获得两个无符号整数（HW）相乘的高 32 位答案

【问题标题】：get the 32 high bits of multiplying two unsigned integers (HW)获得两个无符号整数（HW）相乘的高 32 位
【发布时间】：2016-05-03 13:24:04
【问题描述】：

我正在阅读 CSAPP 并尝试完成作业问题。假设 w = 32，2.75 是关于通过将两个 32 位无符号整数相乘获得高 32 位。给定函数int signed_high_prod(int x, int y)，它计算 x 的高 32 位。 y 适用于 x 和 y 为二进制补码形式的情况。 int signed_high_prod(int x, int y) 应该用于实现unsigned int unsigned_high_prod(unsigned x, unsigned y)。

通过谷歌搜索，我找到了x'.y' = x.y + x.y_31.2^32 + y.x_31.2^32 + x_31.y_31.2^64，其中 x' 和 y' 分别是 x 和 y 的无符号形式。

我还是看不懂答案。

unsigned unsigned_high_prod(unsigned x, unsigned y){
    unsigned p = (unsigned) signed_high_prod((int) x, (int) y)
    if((int) x < 0){
        p += y;
    }
    if((int) y < 0){
        p += x;
    }
    return p;
}

为什么最后一项对结果没有影响？为什么x < 0 所以x_31 = 1，再加上y？和y一样。

【问题讨论】：

标签： c bits

【解决方案1】：

要将有符号的 2 的补码 32 位整数转换为无符号的 32 位整数，如果它是负数，我们将 2³² 添加到它的值。

signed_high_prod 进行有符号乘法并返回乘积的第 63 位到第 32 位。我们希望unsigned_high_prod 对无符号乘法执行相同的操作，并使用signed_high_prod，然后补偿无符号乘法和有符号乘法之间的差异。

Let N(i) = { 1, i < 0
           { 0, i >= 0

Let U(i) = i + N(i)·2³² { −2³¹ <= i < 2³¹ }

然后：

U(x)·U(y) = (x + N(x)·2³²)·(y + N(y)·2³²)
          = x·y + x·N(y)·2³² + N(x)·2³²·y + N(x)·2³²·N(y)·2³²
          = x·y + x·N(y)·2³² + y·N(x)·2³² + N(x)·N(y)·2⁶⁴

⌊U(x)·U(y)/2³²⌋ = ⌊x·y/2³²⌋ + x·N(y) + y·N(x) + N(x)·N(y)·2³²

由于无符号 32 位整数的算术运算将以 2³² 为模，因此我们有：

⌊U(x)·U(y)/2³²⌋ mod 2³²  = (⌊x·y/2³²⌋ + x·N(y) + y·N(x) + N(x)·N(y)·2³²) mod 2³²
                         = (⌊x·y/2³²⌋ + x·N(y) + y·N(x)) mod 2³²

我认为这是您的 unsigned_high_prod 函数执行的计算的原因。

【讨论】：

如果执行模2³²，会丢失一些位吗？
@user2018791 在这种情况下不是。乘法的结果适合 64 位。除以 2³²，四舍五入到负无穷大（“地板”）为我们提供了前 32 位。 32 位无符号数上的 mod 2³² 对其没有影响。
@user2018791 最后的 mod 2³² 步骤主要是为了表明 unsigned_high_prod 函数不需要考虑涉及 N(x)·N(y)·2³² 的项，因为它是 2³² 的倍数，因此等于 0 mod 2³²。请注意，(A mod N) + (B mod N) 与 (A + B) mod N 相同，因此 mod 2³² 可以在每个术语上单独完成，并且不会有任何区别。 IE。 (⌊x·y/2³²⌋ + x·N(y) + y·N(x) + N(x)·N(y)·2³²) mod 2³² 等于 ⌊x·y/2³²⌋ mod 2³² + x·N(y) mod 2³² + y·N(x) mod 2³² + N(x)·N(y)·2³² mod 2³²。

【解决方案2】：

要执行位级乘法，我们必须首先扩展位，然后进行一系列移位和加法。例如，假设 w = 3，让x = [011] 和y = [101]。（即x = 3 和y = -3 (signed) or 5 (unsigned)）

为了执行无符号乘积，我们首先按如下方式进行零扩展：（忽略第 6 位及以上）

     000 011
   * 000 101
    --------
     000 011
   + 001 100
    --------
     001 111
    ========

因此，无符号高位为[001]

为了执行签名产品，我们首先进行如下签名扩展：

     000 011
   * 111 101
    --------
     000 011
   + 001 100
   + 011 000  **
   + 110 000  **
   + 100 000  **
    --------
     110 111
    ========

因此，带符号的高位为[110]

注意，有符号和无符号高位的区别（如上面**所示）是我们在有符号的情况下添加了[111] * [011]。因此，我们必须减去这个数量才能得到无符号的高位。

The unsigned high order bits = [110] - [111] * [011]
                             = [110] - [101]
                             = [110] + [011] ??
                             = [001] (as above)

因为[111] = -1，修正量，- [111] * [011]等价于- (-1 * x) = x。

因此，当y 为负数时（如本例所示），我们必须通过添加x 来更正结果。同样，当x 为负数时，我们必须通过添加y 来纠正结果。

?? -[101] = ~[101] + 1 = [010] + [001] = [011]

【讨论】：

这个例子解释了问题中的代码并说明了@Ian Abbot 的很好的证明。

【解决方案3】：

x'.y' = x.y + x.y_31.2^32 + y.x_31.2^32 + x_31.y_31.2^64

这里是你应该知道的先决条件

x' 和 y' 是无符号的，x,y 是有符号的
使用“mod 2^32”获取x*y的低32位
使用“/2^32”获取x*y的高32位

开始吧

为了得到x'*y'的高32位，我们使用"/2^32"

x'.y' /  2^32=unsigned_high_prod(unsigned x,unsigned y)
=(x.y + x.y_31.2^32 + y.x_31.2^32 + x_31.y_31.2^64)/2^32
=x.y/2^32 + x.y_31 + y.x_31 + x_31.y_31.2^32
=signed_high_prod(int x, int y) + x.y_31 + y.x_31 + x_31.y_31.2^32

但是我们得到的不限于32位，显然结果y.x_31 + x_31.y_31.2^32已经溢出，我们应该得到的只是一个32位的数字。所以我们使用 mod 2^32 来得到正确的答案。

(signed_high_prod(int x, int y) + x.y_31 + y.x_31 + x_31.y_31.2^32) mod 2^32 = signed_high_prod(int x, int y) + x.y_31 + y.x_31

结尾是：

unsigned_high_prod(unsigned x,unsigned y)= Signed_high_prod(int x, int y) + x.y_31 + y.x_31

所以很明显代码是对的。

因为如果int x

否则x_31 == 0，因为y.x_31 == 0，你什么都懒得做

和y一样

【讨论】：