ceil、floor 和 round 函数会在多大程度上放大精度损失问题，以及如何消除这种影响？

Question

我之前发布了一个关于 C++ 函数ceil()、floor() 和round() 的精度损失问题的问题。问题的链接如下。

Will ceil(), floor() and round() meet loss-of-precision problems when converted to integers?

从我收到的两个答案中，我了解到这些函数本身是精确的，但它们会放大现有的精度损失问题。

我想知道这些问题会被放大到多大程度。具体来说，请考虑以下几点。

a = fun(b);

这里，a 是整数类型值（int、long、long long 等），b 是浮点类型值（float、double 等），并且fun() 是 ceil()、floor() 和 round() 之一。请注意，在以下所有讨论中，我假设不存在上溢或下溢问题。

请注意，在这里，我假设 b 是通过其他可能导致精度损失的操作获得的。例如，假设我希望 b 等于 1.1 + 3.9 = 5，但是由于无法表示 1.1 和 3.9，所以 b 不会以 5 结尾。

我想知道这些问题会在多大程度上影响 a 的价值。具体来说，a 的正确值（即，如果 b 没有精度损失）与实际获得的值（即，如果存在潜在的精度损失）相差多少。假设我们将正确的值表示为 a1，将实际值表示为 a2。在我看来，在任何情况下，以下结论都必须成立。

1. 如果fun() 是ceil()，则a2 等于a1 或a1 + 1。
2. 如果 fun() 是 floor()，则 a2 等于 a1 或 a1 - 1。
3. 如果fun() 是round()，则a2 等于a1。

我的问题是，如果我们忽略溢出和下溢

1. 上述结论总是成立吗？
2. 如果无法修复 b 的精度损失，如何修改代码以确保 a2 始终等于 a1？

Answer 1

首先，您假设您的错误是b 小。如果b 中的错误大于 1.0，那么您的任何结论都不会成立。但大概在实践中b 的错误很小，这是一个合理的假设。

然而，结论 3 在所有情况下都是错误的。正确的结果是 a2 等于 a1 - 1，或 a1 + 1，或 a1。假设 b 的正确值为 3.49999，实际值为 3.50001，则当正确结果为 3 时，round 将给出 4。反之亦然，如果正确值为 3.50001，实际值为 3.49999，则round 将给出 3当正确结果为 4 时。

至于问题 2，没有简单的答案。并且不可能笼统地回答这个问题，因此需要对您的实际问题进行一些具体说明。听起来您在需要精确结果时尝试使用不精确的算术。也许你需要切换到某种多精度算术，有几个库可以做到这一点，例如MPIR。

Answer 2

让我换个说法。

假设 b_exact 是一个精确实数，b 是它的浮点表示，a_exact 是 func(b_exact) 的结果，如果以无限精度计算，并且 a = func(b)。你想知道|a_exact -a | 有多大，或者|a_exact - a|/|a_exact|可以。

查看表格here，第 7.4 节，了解 IEEE 浮点表示所产生的最大绝对误差和最大相对误差。