找到擦除网格中的点所需的最小拍摄次数的算法[关闭]答案

【问题标题】：Algorithm to find the minimum number of shots required to erase dots in a grid [closed]找到擦除网格中的点所需的最小拍摄次数的算法[关闭]
【发布时间】：2013-10-09 06:17:08
【问题描述】：

我在一个网站上看到了这个编程难题，并试图解决它。

问题

给你一个 N x N 网格，其中有一些随机分布的点。你必须使用以下允许的操作删除这些点

您可以一次删除一行中的所有点
或者您可以一次删除一列中的所有点。

您必须找到消除所有点所需的最少拍摄次数。

例子

在下面的网格中，您需要三张照片 - 一张水平照片和两张垂直照片来去除点。

我尝试了一种方法来计算带有点的行和列，并且以最小值为准。但在特定情况下它会失败，例如上面的示例。有什么方法可以解决这个问题，或者有什么类似的情况可以参考解决这个问题？

编辑

给定的约束是

1 <= N <= 1000
0 <= x,y <= 10^9
Time Limit: 2 sec

其中 n 是网格的维度（即 nxn），x,y 是坐标

【问题讨论】：

我想，每列投掷每一个镜头是我能得到的最佳解决方案。在最坏的情况下，它是 O(N)，对于任何其他解决方案，最坏的情况是所有点都对角排列或完整的矩阵被点填充
@Reddy ：但是如果你为每一列投一枪，那么对于上面给出的例子，它会给出错误的答案为 6。虽然正确的答案是 3
可能重复stackoverflow.com/questions/19208218/…
@Insane Coder，抱歉我错过了问题
运行 CodeChef 挑战 "Kamehameha" 的完全相同的副本。

标签： java algorithm graph-algorithm

【解决方案1】：

将二维网格转换为二分图。左侧包含节点表示行，右侧包含节点表示列。对于每个包含点的单元格，假设它的坐标是（x，y），添加一条连接row_x和column_y的边。二分图建立后，使用匈牙利算法得到最大匹配。由于在二分图中，最大匹配的答案等于最小顶点覆盖，这正是您想要的。

匈牙利算法是一种 O(V*E) 算法。更多详情请参考Hungarian algorithm

更多关于二分图的信息，请参考Bipartite graph，你可以在这里找到为什么最大匹配等于最小顶点覆盖。

【讨论】：

【解决方案2】：

我会尝试一个详尽的算法。如果你做得对，它并不像听起来那么糟糕。

您已经知道，在最坏的情况下，它会拍摄 N 次（如果您在每一行或每一列拍摄，它肯定会工作）。

因此，要改善最坏的情况，您只需尝试所有可能的列镜头 + 行镜头的排列，其中镜头的总数小于 N。例如，如果 N=4，则必须有非平凡的解决方案为

(0,3)
(1,2)
(2,1)
(3,0)

对于您想要拍摄照片的任何轴（列或行），都有(s choose N) 的可能性。因此，大 N 的可能性总数类似于(N/2) choose N，无论如何对于 N

我确信有更好的启发式算法，也可能有更好的更坏情况算法。

【讨论】：

但是输入域的大小可以达到 1000 x 1000，因此需要更优化的解决方案。
然后我会非常仔细地查看大小N 的解决方案如何应用于大小N + 1 的解决方案。理想情况下，您可以重用大部分状态并显着降低计算的复杂性。
@Evgeny Shavlyugin 得到了问题。

【解决方案3】：

我认为递归可能应用在这里。我认为它效率不高，但以下是您可以使用的想法。

从最左边的点开始。你有以下场景：

在同一行同一列中有另一个点。 -> 分支出三种可能性
在同一行但不在同一列中有另一个点。 -> 拍摄这一行，删除同一行中的所有点并移动到下一个点。
在同一列但不在同一行中有另一个点。-> 拍摄此列，删除同一列中的所有点并移动到下一个点。
在同一列或同一行中没有点。 -> 拍摄行或列，没关系，继续下一个点。

对于第一种情况，分支必须执行如下操作：

int minimumNumberOfLines( matrixOfDots ) {
  return min( 1 + minimumNumberOfLines( with row shot ),1 + minimumNumberOfLines( with col shot ), 2 + minimumNumberOfLines( with row and column shot ) ). 
}

【讨论】：

如果所有网格都包含点，则会导致超出时间限制。大约是 O(3^n)，这肯定是不可接受的。