我正在编写一个程序来使用 Datagridview 对 n 变量（方程组）执行 Newton Raphson 方法。我的问题是确定雅可比矩阵的逆矩阵。我已经在互联网上搜索以找到解决方案，但直到现在才真正得到它，所以如果有人可以帮助我，我将非常感激。提前致谢。
【问题讨论】：
x = inverse(A) . y，则可以等效地求解线性系统y = A . x。可能更容易找到或编写代码来求解线性方程组，而不是计算逆。
标签： vb.net visual-studio math matrix datagridview
如果您要求推荐一个库，这在 Stack Overflow 中显然是题外话。但是下面我提到了一些常用的算法；这可以帮助你找到或写下你需要的东西。不过，我不建议您编写任何东西，除非您真的想这样做，因为要正确使用这些算法可能会很棘手。如果你决定写点东西，我推荐 QR 方法，因为它最容易写，虽然理论有点微妙。
首先你真的需要计算逆吗？例如，如果您需要做的是计算
x = inv(J)*y
那么将这个问题处理为更快更准确
solve J*x = y for x
下面的所有方法都将 J 分解为其他矩阵，对此可以完成此解决方案。实现分解的好包也将具有执行解决方案的代码。
如果你真的真的需要逆运算，最好的方法是求解，一次一列
J*K = I for K, where I is the identity matrix
LU分解
这可能是此处描述的算法中最快的，但也是最不准确的。重要的一点是该算法必须包括（部分）旋转，否则它将不适用于所有可逆矩阵，例如它将在旋转 90 度时失败。 你得到的是 J 的因式分解：
J = P*L*U
where P is a permutation matrix,
L lower triangular,
U upper triangular
因此，分解后，为了求解 x，我们需要执行三个步骤，每个步骤都很简单，并且每个步骤都可以就地完成（即所有 x 可以是同一个变量）
Solve P*x1 = y for x1
Solve L*x2 = x1 for x2
Solve U*x = x2 for x
二维码分解
这可能比 LU 慢一些，但更准确。从概念上讲，这将 J 分解为
J = Q*R
其中 Q 是正交的，R 是上三角的。然而，正如通常实现的那样，您实际上将 y 和 J 传递给例程，它返回 R（在 J 中）和 Q'*y（在传递的 y 中），所以要求解 x，您只需要求解
R*x = y
鉴于 R 是上三角形，这很容易。
SVD（奇异值分解）
这是最准确的，但也是最慢的。此外，与其他人不同的是，即使 J 是奇异的，您也可以取得进展（您可以计算应用于 y 的“广义逆”）。
我建议阅读此内容，但建议不要自己实施。
简而言之，你将 J 分解为
J = U*S*V'
其中 U 和 V 是正交的，S 是对角线的。
当然，还有许多其他方法可以解决这个问题。例如，如果您的矩阵非常大（以数千为单位），那么使用迭代方法可能会更快，特别是如果它们是稀疏的（很多零）。
【讨论】：