如何获得对角四元数

Question

我正在计算 2 个四元数之间的四元数旋转。

我知道 Q1 = r x Q2，所以我认为 r = Q1 x Q2* （星号表示共轭）

然而，这似乎给了我我需要的相反的角度。

例如。如果 Q1 和 Q2 关闭 Pi/2，我将得到 -Pi/2 的四元数。我怎样才能得到我需要的正确角度？

示例： 我从前方向左看 45 度。我正在推动世界前进。相对于外观，我向右移动 45 度。在这种情况下，我需要 r 旋转 45 度。

提前谢谢你

Answer 1

问题的描述对我来说不是很清楚。我认为最好推导出您找到的公式。希望这能让您理解（并想象）为什么您可能会得到您现在的结果。

给定两个四元数 Q1 和 Q2，从 Q1 到 Q2 的相对四元数旋转为：

Quaternion = relativeRotation = Q1^(-1) * Q2

其中Q1^(-1) 表示 Q1 的倒数。您可以将其视为将 Q1 反向旋转到 Q2。结果将是两者之间的相对旋转。四元数的逆可以通过以下方式计算：

Q^(-1) = (Q*) / ||Q||^2

其中Q* 表示Q 的共轭。我假设您已经知道如何找到四元数的共轭。现在，如果Q 是一个单位四元数，那么Q 的范数和范数的平方都是1.0。因此，我们有：

Q^(-1) = Q*

这将我们的公式简化为：

Quaternion relativeRotation = (Q1*) * Q2

请注意，只有单位四元数表示旋转。然而，由于两个单位四元数的 Hamilton 乘积本身就是一个单位四元数，我们不需要对结果进行归一化。

现在，根据这个相对四元数，您可以确定角度（以弧度为单位）：

float angle = 2.0f * acos(relativeRotation.w)

这里，w 是四元数的标量分量，acos 是反余弦三角函数。这个角度是关于轴的：

Vector3 axis = (relativeRotation.x, relativeRotation.y, relativeRotation.z)

现在，已经找到了角度和轴，您应该能够可视化旋转。

最后，附带说明一下，Hamilton 乘积 (*) 不可交换。这意味着(Q1*) * Q2 不一定等于Q2 * (Q1*)。同上推导，从 Q2 到 Q1 的相对单位四元数旋转可以计算为：

relativeRotation = (Q2*) * Q1