将顶点从空间转换到另一个答案

【问题标题】：Translate vertices from space to another将顶点从空间转换到另一个
【发布时间】：2013-08-20 18:17:29
【问题描述】：

我有从模型中读取的 3D 顶点，其向上方向由单位向量 u 定义。我需要将所有这些顶点转换到另一个空间，其向上方向由单位向量 v 定义。

我知道如果原始向上方向是 (0,1,0) 并且目标是 (1,0,0)，我可以对所有点使用类似这样的旋转矩阵：

x' = x*cos(-90) - y*sin(-90) = y
y' = x*sin(-90) + y*cos(-90) = -x
z' = z

where -90 is the angle from (0,1,0) to (1,0,0).

...但到目前为止，我为开始提到的案例推广这种方法的尝试被证明是徒劳的。

有什么建议可以解决这个问题吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

为了概括这一点，您可以使用角度/轴旋转规范，其中旋转角度由 θ = cos^-1(u∙v / |u||v|) 轴由 r = (u/ |u|)×(v/|v|) 其中∙是dot product，×是cross product和| |是Euclidean (L2) norm。您可以使用quaternion formulation 或rotation matrix 来实际生成线性变换。

为什么会这样：两个单位长度向量的点积是这两个向量之间夹角的余弦值。两个单位长度 3D 矢量的叉积是与其他两个正交（垂直）的两个单位长度 3D 矢量之一。这两个向量仅在符号上有所不同，使得 u×v = -v×u，所以公式如果我在交叉产品中弄错了订单，上面可能会出现符号问题。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果你的向上向量是 [ Ux, Uy, 0 ]：

x' = Ux*x + Uy*y
y' = Uy*x - Ux*y 
z' = z

如果您使用矩阵，您可以更好地概括这一点并涵盖所有任意角度。例如：

[ Ux, Uy, 0,
  Uy,-Ux, 0,
  0,  0,  1  ]

然后简单地将向量乘以矩阵。

或者使用三个向量作为你的方向，然后你的矩阵是：

[ Rx, Ry, Rz,
  Ux, Uy, Uz, 
  Bx, By, Bz ]

向量乘以矩阵会是这样的：

x' = x*Rx + y*Ry + z*Rz
y' = x*Ux + y*Uy + z*Uz    
z' = x*Bx + y*By + z*Bz

在您的特定情况下，您有 R=[1,0,0], U=[0,1,0] 和 B=[0,0,1] 然后您将其重新定向为 R=[0,-1 ,0], U=[1,0,0] 和 B=[0,0,1]

【讨论】：

我正在寻找概括：点 p(x0, y0, z0) 在空间中定义，向上向量是 U(x1, y1, z1) 我需要将点转换为空间其中向上向量是 V(x2, y2, z2)。