是否有确定最小可解线性方程组的算法答案

【问题标题】：Is there an algorithm for determining the smallest set of solvable linear equations是否有确定最小可解线性方程组的算法
【发布时间】：2017-01-22 08:39:23
【问题描述】：

我有一组包含 W 个变量的 N（N 非常大）线性方程组。

为了提高效率，我需要找到最少数量的可解线性方程组（具有唯一解）。可以假设一组包含Y变量的X方程组在X == Y时有唯一解。

例如，如果我输入以下内容：

2a = b - c
a = 0.5b
b = 2 + a

我想返回方程组：

a = 0.5b
b = 2 + a

目前，我有一个使用一些启发式的实现。我创建了一个矩阵，列是变量，行是方程。我搜索矩阵找到一组全连接方程，然后逐个尝试删除方程，看看剩下的方程组是否仍然可解，如果是继续，如果不是，返回方程组。

对此是否有已知算法，我是否正在尝试重新发明轮子？有人对如何更好地解决这个问题有意见吗？

谢谢。

【问题讨论】：

“可解决”是指“有一个独特的解决方案”还是“有一个解决方案”？技术上“可解”的意思是“有解”，而你的每一个方程本身都有解，所以最小的数是 1。
我怀疑你在谈论方程组的Gaussian elimination。
您只处理线性方程吗？尽管a=2, b=4, c=0 可以解决所有三个方程，但您为什么只求解两个方程，而没有第一个方程，您对c 一无所知？我同意@beaker 的观点，可能会使用高斯消元法来解决这个问题。不过，其中的数字可能很棘手。
“可解决”是指“有一个独特的解决方案”。为清楚起见，将进行编辑。
有算法。它们不是特别容易理解或实施。从阅读this presentation开始，你会得到一些概念和术语。

标签： algorithm math

【解决方案1】：

简短的回答是“是”，有已知的算法。例如，您可以添加一个方程，然后计算矩阵的秩。然后添加下一个方程并计算等级。如果它没有上升，那么新的等式就没有任何帮助，你可以摆脱它。一旦排名 == 变量的数量，你就有了一个独特的解决方案，你就完成了。有一些库（例如 Colt、JAMA、la4j 等）可以为您执行此操作。

更长的答案是，要正确执行此操作非常困难，尤其是当您的矩阵变大时。你最终会遇到很多数值稳定性问题等等。我不是数值线性代数专家，但如果你不小心的话，我知道这里有龙。话虽如此，如果您的矩阵很小且“条件良好”（行/列几乎不平行），那么您应该处于良好状态。这取决于您的应用程序。

【讨论】：

这绝不是找到最小的可解集。
@n.m.真的吗？假设实际上存在解，则解将位于矩阵的列空间中。我相信以上内容将为该列空间找到一个最小的基础。由于行空间的维度 == 列空间的维度，这不能保证你有一个最小的方程组吗？我错过了什么吗？当然，如果没有解决方案，上面的内容就被打破了，但我认为这不是你要指出的问题。
取这组方程：x1+x2=a1; x2+x3=a2； x3+x4 = a3； ...; x99+x100 = a99； x1-x3=a100；如果您按此顺序添加方程式，您的算法会发现什么？理想的算法应该找到由第一个、第二个和最后一个方程组成的集合。
@n.m.有趣的。您提出的解决方案（第一个、第二个和最后一个）确实会有一个独特的解决方案，但它不会是一个“完整”的解决方案，因为 x4、x5、x6、...、x100 的值将是未知的。我没有正式的方式来说明这一点，但它类似于“独特但不完整”的解决方案或其他东西。不确定您提出的解决方案是否是 OP 的有效解决方案。如果是这样，那么是的，我的解决方案不会找到最小集合。但是，如果您还想要一个能够为 all 变量正确分配值的解决方案，那么我认为我提出的建议是可行的。听起来对吗？
就是这样。您首先求解一个小子集，从其余方程中消除其变量，找到另一个可求解的小子集，然后重复。如果您的矩阵庞大且稀疏，它应该比通常的方法更快。在上面的示例中，您可以非常快速地求解整个系统。一旦你消除了 x1、x2 和 x3，x3+x4 就可以立即解决；然后是x4+x5等。其实还有基于这个的方法。