旋转抛物面拟合答案

【问题标题】：Rotated Paraboloid Surface Fitting旋转抛物面拟合
【发布时间】：2015-01-28 07:56:44
【问题描述】：

我有一组实验确定的 (x, y, z) 点，它们对应于抛物线。不幸的是，数据没有沿着任何特定的轴对齐，因此对应于旋转的抛物线。

我有以下一般表面： Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Gyz + Hzx + Ix + Jy + Kz + L = 0

我需要生成一个可以使用（我假设）最小二乘拟合准确表示抛物线的模型。我似乎无法弄清楚这是如何工作的。我虽然旋转抛物线，直到它的中心轴与 z 轴对齐，但我不知道这个轴是什么。 Matlab 的 cftool 似乎只适合 z = f(x, y) 形式的方程，我不知道 python 中有什么可以解决这个问题。我还尝试以数字方式求解参数。当我尝试将其转换为矩阵方程并通过最小二乘法求解时，矩阵结果是可逆的，因此我的参数都为零。我也坚持这一点，任何帮助将不胜感激。我并不介意这种方法，因为我熟悉 matlab、python 和线性代数（如果需要）。

谢谢

【问题讨论】：

你看过这个nl.mathworks.com/help/optim/examples/…
在 python 中，我使用来自 scipy 的 curve_fit。它接受 x 的向量值，因此我将 3D 数据表示为 1D 表。

标签： python matlab curve-fitting least-squares surface

【解决方案1】：

不要对这个问题使用任何工具箱、GUI 或特殊功能。您的问题很常见，您提供的方程式可能会以非常直接的方式解决。线性最小二乘问题的解可以概括为：

向量空间的基础是 x^2, y^2, z^2, xy, yz, zx, x, y, z, 1。因此您的向量有 10 维。
您的问题可以表示为 Ap=b，其中 p = [A B C D E F G H I J K L]^T 是包含您的参数的向量。右手边的 b 应该全为零，但由于模型错误、数据的不确定性或数字原因会包含一些残差。必须尽量减少这种残差。
矩阵 A 的维度为 N x 10，其中 N 表示抛物线表面上已知点的数量。

A = [x(1)^2 y(1)^2 ... y(1) z(1) 1

...

x(N)^2 y(N)^2 ... y(N) z(N) 1]

通过计算 p = A\b 求解超定线性方程组。

【讨论】：

嗨 Diphthong，我确实构建了这个矩阵，它的矩阵大小为 120 X 10。我也有 b 作为 120 X 1 向量。当我尝试求解方程时，我只是得到矩阵是可逆的，因此系数向量全为零。我知道问题很可能是由于您的第 2 步造成的。我不知道您所说的“右手边 b...由于模型错误...将包含一些残差...”是什么意思。换句话说，我怎样才能得到一个非零的 b？
原来你的系数是线性相关的。当然，简单的解决方案是一切都为零。你需要去掉一个参数。我建议你定义 L = -1。然后您可以将矩阵 A 的最后一列放在右侧。你的新矩阵 A* 应该有 N x 9 的维度，新的 b* 应该是全1。如果您成功使用此修改，我将相应地编辑我的帖子，所以如果您这样做，请告诉我。
我按照你说的定义了常量参数（L = -1）。然后这给了我一个向量。正如你所说，我的新矩阵是 N x 9。当我求解方程时，我得到所有参数都为零，除了 x、y 和 z 分量，当然还有常数参数（定义 L = 1）。当我实际上需要抛物面时，这当然对应于平面。我想知道您对此有什么建议吗？
尝试计算残差 r = A*p - b。如果它为零或非常小，则您的抛物线方程至少对所选点成立。在这种情况下，您需要分析这是如何发生的。如果残差不为零，则最小二乘问题没有得到正确解决。

【解决方案2】：

您是否有足够的数据点来适应所有 10 个参数 - 您至少需要 10 个？

我还怀疑 10 个参数对于描述一般抛物面来说太多了，这意味着一些参数是相关的。我的感觉是平移和旋转的抛物面需要 7 个参数（虽然我不太确定）

【讨论】：

我有一百多分，所以我相信应该没问题。我也确信 10 参数方程对应于二次曲面的完整一般曲面。如果其中一些确实是不必要的，我认为有些会变成零 - 我有足够的分数来确保这一点。
一个完整的一般二次曲面可以是抛物面以外的其他曲面。表面上的约束使其成为抛物面，减少了参数的数量（减少到 7 个？）。在您的方程中，一个参数可以通过除法立即消除，因此即使对于一般二次方程，它最多也有 9 个独立参数。此外，一般二次曲面可以位于复数（数字）空间中，使拟合更加复杂。为了帮助拟合，重写方程并消除一些参数以对应抛物面。