模幂运算的问题

Question

我正在尝试解决一个问题，我们必须输出给定数字 n^p 的最后一位。

int modularExponentiation(int n, long long p, int m){
    if(p == 0) return 1;
    if(p & 1)
        return (n % m * modularExponentiation((n*n) % m, p / 2, m) % m) % m;//line 4
    return modularExponentiation((n*n) % m, p / 2, m) % m;
}

在这个递归代码中，我们在这里通过在第 4 行应用模数来更改临时结果。这不会对最终答案带来任何变化吗？例如，如果在任何中间阶段答案是 81^4，在 81 处应用 %10 并将其替换为 1，它不会改变最终结果吗？

Answer 1

不，这不会影响结果，因为(a*b)%m == ((a%m) * (b%m))%m。求幂当然只是重复乘法，所以同样的原理也适用。

(81^4)%10 足够小，可以手动尝试。来吧，写出来。

Answer 2

对于模加法和乘法，你可以在每一步都取一个mod，它不会影响结果。事实上，这就是您应该进行模幂运算以避免溢出的方式。因此，您的最终函数将如下所示：

long long modExp(long long n, long long p, long long m) {
    if (p == 0) {
        // m could be 1 you never know
        return 1 % m;
    }
    n %= m;
    return (n * modExp(n, p - 1, m)) % m;
}