SICP：为什么这种基于递归的正弦逼近有效？答案

【问题标题】：SICP: Why does this recursion-based sine approximation work?SICP：为什么这种基于递归的正弦逼近有效？
【发布时间】：2017-10-01 01:37:13
【问题描述】：

Here 是计算机程序的结构和解释'练习 1.15 (see here) 的问题和解决方案。我的问题是，我不知道这些公式的组合实际上是如何工作的：

和

对于较小的x 弧度值。

我理解这样的想法，即弧度角越接近零，它就越接近该角度的正弦。我看过很好的解释（MIT OCW，可汗学院）。我也弄明白了

公式是推导出来的。但是如何将它们一起用于得出sin(x) 的答案？ p 函数似乎只是简单地将变量角度除以 3 每次递归传递，直到 angle 低于 0.1 然后在返回的路上，我们执行 p 的次数与我们必须划分的次数一样多通过3。好像是这样

神奇地变成了

通过递归应用程序。如何？我对递归理论不是很精通。此外，如果这在对数上越来越接近0.1，那么就好像我们汇总了很多小的x 的积分。这似乎在做一些类似于 Y-combinator 的事情——我还没有很好地掌握它。

另外，当我们看到递归步骤（递归）反复将angle 除以 $3$ 时，有什么能明确告诉您这是对数？我的意思是，看起来它在每个部门都取得了巨大的数量级飞跃，但是还有另一种分析方法可以称之为对数缩减吗？

【问题讨论】：

“数量级飞跃”= 对数。对数计算数量级的数量。
它神奇地变成了sin(x)=3*sin(x/3)-4*sin(x/3)^3=3*x/3-4*(x/3)^3 =x-4/27x^3
至于“它是如何工作的”——你已经展示了它是如何工作的。您证明了三角恒等式，并确认了小 x 的近似值。这只是递归：解决一个难题并转换为一个更简单的问题。重复，直到问题变得简单到可以解决为止。

标签： recursion trigonometry sicp

【解决方案1】：

首先要指出的是并不完全准确，因为 x 只是一个近似值。正确的记法是。这可能看起来有点挑剔，但它很重要，因为它解释了书中给出的练习和正弦的定义。

和的组合方式在正弦过程的定义中。我们的想法是，我们希望根据 x 的值返回近似值或第二个公式 ()。

如果 x “足够小”，那么我们只返回 x 作为 sin(x) 的近似值。但如果它不是“足够小”，我们将使用。这显然很好，因为它是一个平等。在您注意到 sin(x/3) 更小，因此它可能“足够小”之前，这似乎是不必要的。这就是过程是递归的原因，我们将继续这样做，直到正弦参数“足够小”。

看来你的困惑的根源在这里：

所以似乎神奇地变成了。

事实并非如此。这有点棘手，因为(define (p x) (- (* 3 x) (* (4 (cube x)))) 不包含任何正弦，但请记住此定义中的 x 只是一个局部变量。但是，如果我们查看正弦过程定义的最后一行，我们可以看到我们实际上是在调用 (p (sin (/ angle 3.0)))))，所以正弦在 p 调用的参数中。

递归在步数方面是对数的原因是我们将调用 p 过程的次数大约是我们必须将角度除以 3.0 以获得值的次数小于 0.1。如果角度很大，这是一个接近 1 的值。所以我们必须调用p，直到 angle/(3.0^n) angle 近似于

【讨论】：